Chứng minh 1/a+1/b+1/c>=2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\geq (1+1)^2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\) (đpcm)

Áp dụng công thức trên (cho tất cả các phần)

a) \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\\ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{b+c}\\ \frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{4}{a+c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \) cộng theo về, rút gọn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)

Ta có đpcm.

b) Áp dụng CT: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{a+b+a+c}=\frac{4}{2a+b+c}\\ \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \frac{4}{a+b+2c}\\ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{a+2b+c}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2\left (\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\right)\)

Ta có đpcm.

c) Áp dụng hai phần a và b:

\(\text{VP}\leq \frac{1}{2}\left (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VP}\leq \frac{4}{4}=1\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra ở tất cả các phần đều là khi \(a=b=c\)