Cho tam giác \(ABC\) và ba vec tơ cố định \(\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v ,\,\overrightarrow w \). Với mỗi số thực \(t\), ta lấy các điểm \(A’, B’, C’\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = t\overrightarrow u \,;\,\,\overrightarrow {BB'} = t\overrightarrow v \,;\,\,\overrightarrow {CC'} = t\overrightarrow w \). Tìm quỹ tích trọng tâm \(G’\) của hai tam giác \(A’B’C’\) khi \(t\) thay đổi.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'}\\  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CC'} \\ = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \\ = t\overrightarrow u  + t\overrightarrow v  + t\overrightarrow w  = t(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w ).\end{array}\)

Đặt \(\overrightarrow \alpha   = \overrightarrow u  + \overrightarrow v  + \overrightarrow w \) thì vec tơ \(\overrightarrow \alpha  \) cố định và \(\overrightarrow {GG'}  = \dfrac{1}{3}t\overrightarrow \alpha  \).

Suy ra nếu \(\overrightarrow \alpha   = \overrightarrow 0 \) thì các điểm \(G’\) trùng với điểm \(G\), còn nếu \(\overrightarrow \alpha   \ne \overrightarrow 0 \) thì quỹ tích các điểm \(G’\) là đường thẳng đi qua \(G\) và song song với giá của vec tơ \(\overrightarrow \alpha  \).