Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) và một điểm \(M\) sao cho các góc \(AMB, BMC, CMA\) đều bằng \(120^0\). Các đường thẳng \(AM, BM, CM\) cắt đường tròn \((O)\) lần lượt tại \(A’, B’, C’\). Chứng minh rằng: \(MA+MB+MC\)\(=MA’+MB’+MC’.\)

Lấy các điểm \(A_1, B_1, C_1\) sao cho \(\overrightarrow {M{A_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}};\)  \(  \overrightarrow {M{B_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MB} }}{{MB}};\) \(\overrightarrow {M{C_1}}  = \dfrac{{\overrightarrow {MC} }}{{MC}} \), khi đó cả ba vec tơ trên đều có độ  dài bằng 1, mà góc giữa hai vectơ bất kì trong chúng đều bằng \(120^0\) nên \(M\) là tâm của tam giác đều \(A_1 B_1 C_1\).

Theo bài 24, ta có

\(2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MO}\)

\(  = MA(MA - MA')\), suy ra \(2\dfrac{{\overrightarrow {MA} }}{{MA}}.\overrightarrow {MO} \)

\(= MA - MA'\),

hay \(2\overrightarrow {M{A_1}} .\overrightarrow {MO}  = MA - MA'\).

Tương tự

\(2\overrightarrow {M{B_1}} .\overrightarrow {MO}  = MB - MB',\)  \( 2\overrightarrow {M{C_1}} .\overrightarrow {MO}  = MC - MC'.\)

Từ đó ta có

\(MA + MB + MC\)\( - MA' - MB' - MC' \)

\(= 2(\overrightarrow {M{A_1}}  + \overrightarrow {M{B_1}}  + \overrightarrow {M{C_1}} ).\overrightarrow {MO}  = 0\)

Hay

\(MA + MB + MC\)\( = MA' + MB' + MC'\)