Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(M, N, P\) là các điểm chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo cùng tỉ số \(k \ne 1\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ABC\) và \(MNP\) có cùng trọng tâm.

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\) thì ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GP}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\frac{{\overrightarrow {GA}  - k\overrightarrow {GB} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GB}  - k\overrightarrow {GC} }}{{1 - k}} + \frac{{\overrightarrow {GC}  - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow {GA}  - k\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GB}  - k\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GC}  - k\overrightarrow {GA} }}{{1 - k}} = \overrightarrow 0  \\\Leftrightarrow \frac{{\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) - k\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)}}{{1 - k}} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)