Cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là: x-2y-4=0

Gọi M là trung điểm của BC, ta chứng minh D, M, E thẳng hàng. Các tứ giác ADEB BEIM , nội tiếp đường tròn \(\Rightarrow \angle DEB=180^0-\angle BAD\) (1)
\(\angle BEM=\angle BIM\) (chắn cung BM)  (2)
\(\angle BIM=\frac{1}{2}\angle BIC=\angle BAD\) (3)
\((1),(2),(3)\Rightarrow \angle DEB+\angle BEM=180^0\)
⇒ D, E, M thẳng hàng.
Phương trình DE: \(2x-y-2=0,\left \{ M \right \}=DE\cap BC\Rightarrow\)
Tọa độ M là nghiệm hệ
\(\left\{\begin{matrix} 2x-y-2=0\\ x-2y-4=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow M(0;-2)\)
Gọi \(B(2b+4;b)\in BC\Rightarrow C(-2b-4;-4-b)\) (do M là trung điểm của BC)
\(IM:\left\{\begin{matrix} qua \ M(0;-2)\\ vtpt \ \vec{n}=\overrightarrow{u}_{BC}=(2;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow IM: 2x+y+2=0\)
Gọi \(I(a;-2a-2)\in IM\)
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IE}=(-1-a;2a-2),\overrightarrow{BE}=(-2b-5;-b-4)\\ \overrightarrow{CD}=(2b+6;b+6),\overrightarrow{BD}=(-2b-2;2-b) \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} IE\perp BE\\ CD\perp BD \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IE}.\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{BD}=0 \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} (-1-a)(-2b-5)+(2a-2)(-4-b)=0\\ (2b+6)(-2b-2)+(b+6)(2-b)=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3a+4b+13=0\\ 5b(b+4)=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -3a+4b+13=0\\ b=0(loai),b=-4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-4 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-4;-4);C(4;0);I(-1;0)\)
Đường thẳng AC đi qua C, D \(\Rightarrow\) phương trình AC là x + y - 4 = 0
Tọa độ AC là nghiệm hệ \(\left\{\begin{matrix} x+1=0\\ x+y-4=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ y=5 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(-1;5)\)
Vậy tọa độ các điểm cần tìm là \(A(-1;5),B(-4;-4),C(4;0)\)