Cho tam giác ABC có các đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B và phân giác trong kẻ từ C

Vecto chỉ phương của d₁ là \(\overrightarrow{u_{1}} (4;3)\). Vì \(d_1 \perp BC\) nên BC nhận \(\overrightarrow{u_{1}} (4;3)\) làm vecto pháp tuyến

Ta có d₃ nhận \(\overrightarrow{n_{3}} (1; 2)\) làm vecto pháp tuyến

Gọi \(\overrightarrow{n_{AC}} (a; b)\ (a^2 + b^2 \neq 0)\) là một vecto pháp tuyến của AC

Vì d₃ là phân giác trong góc C nên (d₃; AC) = (d₃; BC). Suy ra

\(|\cos (\overrightarrow{n_{AC}};\overrightarrow{n_{3}}) | = |\cos (\overrightarrow{u_{1}};\overrightarrow{n_{3}}) | \Leftrightarrow \frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2 + b^2}.\sqrt{5}} = \frac{|4.1+3.2|}{\sqrt{25}.\sqrt{5}}\)

\(\Leftrightarrow |a+2b| = 2\sqrt{a^2 + b^2} \Leftrightarrow (a + 2b)^2 = 4(a^2 + b^2)\)

\(\Leftrightarrow 3a^2 - 4ab = 0\)

Chọn \(b = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{3}\) (loại vì AC//BC) hoặc a = 0

Suy ra (0; 1) là một vecto pháp tuyến của AC

Gọi \(C(5 - 2c; c) \in d_3\). Phương trình AC qua C nhận (0; 1) làm vec tơ pháp tuyến có dạng: \(y - c = 0\)

Tạo độ A là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 3x - 4y + 27 = 0\\ y - c = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Rightarrow A \left ( \frac{4c - 27}{3}; c \right )\)

Gọi M là trung điểm của AC thì M là giao AC và d₂, nên có tọa độ nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} 4x + 5y - 3 = 0\\ y - c =0 \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \Rightarrow M \left ( \frac{3-5c}{4}; c \right )\)

M là trung điểm của AC nên \(5 - 2c + \frac{4c - 27}{3} = 2.\frac{3 - 5c}{4} \Rightarrow c = 3\). Suy ra A(-5; 3); C(-1; 3)

Phương trình BC có dạng: \(4x + 3y - 5 = 0\). Tạo độ B là nghiệm của hệ:

\(\left\{\begin{matrix} 4x + 3y - 5= 0\\ 4x + 5y - 3 = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow B(2;-1)\)

Ta thấy A và B nằm cùng phía đối với d₃ suy ra d₃ là phân giác ngoài đỉnh C của ∆ABC, không thỏa mãn

Vậy không có tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài