Cho tam giác ABC có \(AB = c,AC = b\)(với \(b \ne c\)), phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\).

Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB.AD}}\)\( = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC.AD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c.k}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b.k}}\) \( \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*)\)

Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow DB.AC = DC.AB\) \( \Rightarrow bd = ce\)

Từ (*) ta suy ra 

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left( {c - b} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + bd.e - ce.d = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left( {b - c} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + de\left( {b - c} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( { - bc + {k^2} + de} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\)

(vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)