Cho tam giác ABC cân tại A với đường cao AH. Gọi HD là đường cao tam giác AHC

Vì tam giác ABC cân nên AH là đường cao. Gọi G là trung điểm của CD thì GM là đường trung bình của CD thì GM là đường trung bình tam giác DHC nên GM // HC. Suy ra GM \(\perp\) AH. Mà HM \(\perp\) AG nên AM \(\perp\) HG. Nhưng HG là đường trung bình tam giác BDC nên HG // BD.
Vậy AM \(\perp\) BD
AM qua \(M(\frac{3}{4};\frac{15}{4})\) và AM vuông góc với BD: \(x-3y+10=0\) nên \(3x+y-6=0\)
Vì AM ∩ d = A nên tọa độ A là nghiệm của hệ: \(\left\{\begin{matrix} x+y-4=0\\ 3x+y-6=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=3 \end{matrix}\right.\) . Vậy A(1; 3)
Vì \(D\in BD: x=3y-10\Rightarrow D(3d-10;d)\). Từ \(\overline{AD}\perp \overline{MD}\Leftrightarrow \overline{AD}. \overline{MD}=0\)
\(\Leftrightarrow 10d^2-72d+\frac{259}{2}=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} d=\frac{7}{2}\\ d=\frac{37}{10} \end{matrix}\)
Khi \(d=\frac{7}{2}\Rightarrow D(\frac{1}{2};\frac{7}{2})\Rightarrow H(1;4), AD: x+y-4=0\). BC đi qua H (1;4) và nhận \(\overline{AH}(0;1)\) là VTPT nên BC: y = 4. Suy ra C (0;4)
Khi \(d=\frac{37}{10}\Rightarrow D(\frac{11}{10};\frac{37}{10})\Rightarrow H(\frac{2}{5};\frac{19}{5})\) loại do hoành độ H nguyên