Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình cạnh AB, BC lần lượt là \(x + 2y - 1 = 0\) và \(3x - y + 5 = 0\) và cạnh AC qua điểm \(I\left( {1; - 3} \right)\) . Khi đó phương trình cạnh AC là:

Phương trình cạnh AC có dạng

\(a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow ax + by - a + 3b = 0.\)

Theo giả thiết

\(\eqalign{  & \cos B = \cos C \cr&\Leftrightarrow {{\left| {3 - 2} \right|} \over {\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = {{\left| {3a - b} \right|} \over {\sqrt {10} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  \cr  & \Leftrightarrow \sqrt 5 .\left| {3a - b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \cr} \)                         

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow 5\left( {9{a^2} - 6ab + {b^2}} \right) = {a^2} + {b^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 22{a^2} - 15ab + 2{b^2} = 0 \cr} \)

Chọn \(b = 1\)  ta có phương trình

\(22{a^2} - 15a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  a = {1 \over 2} \hfill \cr  a = {2 \over {11}} \hfill \cr}  \right.\)

Với \(a = {1 \over 2},b = 1\) ta có đường thẳng \({1 \over 2}x + y + {5 \over 2} = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 5 = 0\) (loại vì song song với AB).

Với \(a = {2 \over {11}},b = 1\) ta có đường thẳng \({2 \over {11}}x + y + {{31} \over {11}} = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + 11y + 31 = 0\).

Chọn B