Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2).\) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

\(\vec{BC} = (3; 3)\)

\({AH}  ⊥ {BC}\) nên AH nhận vectơ \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

\(AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = \frac{9}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Do đó \(M (\dfrac{9}{2}; \dfrac{1}{2})\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( {1; - 1} \right)\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1;4)\) và nhận \(\overrightarrow {u_4}   = \dfrac{2}{7}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT

PTTQ: \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \( x + y - 5 = 0\).