Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2).\) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

+) Phương trình \(AB\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\)

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2} \right)\) làm VTPT

Mà \(AB\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(5x + 2y - 13 = 0\)

+) Phương trình \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\) làm VTPT

Mà \(AC\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(2x + 5y - 22 = 0\)

+) Phương trình \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right)\)

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) = 3\left( {1;1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

Mà \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 1} \right)\) nên PTTQ: \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 4 = 0\)