Cho \(n\) điểm \(A_1, A_2, …,A_n\) và \(n\) số \(k_1, k_2,…,k_n\) với \({k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k (k \ne 0).\) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm \(G\) sao cho: \({k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \).

Lấy một điểm \(O\) bất kì thì đẳng thức

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0\)            (1)

tương đương với 

\({k_1}\left( {\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OG} } \right) + {k_2}\left( {\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OG} } \right) \) \(+  \ldots  + {k_n}\left( {\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OG} } \right) = \overrightarrow 0 \)

Hay \(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\)

Điều đó chứng tỏ rằng có điểm \(G\) thỏa mãn (1).

Giả sử điểm G’ củng thỏa mãn \({k_1}\overrightarrow {G'{A_1}}    + {k_2}\overrightarrow {G'{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G'{A_n}}  = \overrightarrow 0   \)         (2)

Bằng cách trừ theo vế (1) cho (2) ta được \(k.\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(G’\) trùng với \(G\).  (Điểm \(G\) được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\) gắn với các hệ số \({k_1},{k_2} \ldots {k_n}\)).