Cho \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\,3x - 4y + 4 = 0.\) Xác định tâm và bán kính đường tròn \(\left( C \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d\) và tiếp xúc với \(\left( C \right).\)

Xét phương trình đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) ta có: \(a = 1,\,\,b =  - 2,\,\,x =  - 4\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + 4}  = 3.\)

Ta có:\(d:\,\,\,3x - 4y + 4 = 0\)  có VTPT \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {3;\,\, - 4} \right).\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\Delta //d\) có phương trình : \(3x - 4y + c = 0\,\,\,\,\left( {c \ne 4} \right).\)

\(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\,\Delta } \right) = R = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\\ \Leftrightarrow \left| {11 + c} \right| = 15\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + c = 15\\11 + c =  - 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\c =  - 26\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\Delta :\,\,\,3x - 4y - 26 = 0.\)