Cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BD là \(H(-\frac{6}{5};\frac{7}{5})\)

Gọi N, K lần lượt là trung điểm của HD và AH \(\Rightarrow NK//AD\) và \(NK=\frac{1}{2}AD\)
Do \(AD\perp AB \Rightarrow NK \perp AB.\)
Mà \(AK\perp BD \Rightarrow K\) là trực tâm tam giác ABN
Suy ra BK \(\perp\) AN (1)
Vì M là trung điểm BC\(\Rightarrow BM=\frac{1}{2}BC\)
Do đó NK // BM và NK = BM
\(\Rightarrow\) BMNK là hình bình hành
\(\Rightarrow\) MN //BK (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN \(\perp\) AN.

\(\Rightarrow\) phương trình MN có dạng: x - 7y + c = 0
M(-1;0) \(\in MN\Leftrightarrow -1-7.0+c=0\Leftrightarrow c=1\)
\(\Rightarrow\) phương trình AM là: x - 7y + 1 = 0
Mà \(N=MN\cap AN\Rightarrow N\left ( \frac{2}{5};\frac{1}{5} \right )\) Vì N là trung điểm \(HD\Rightarrow D(2;-1)\)
Ta có \(\overline{HN}=(\frac{8}{5};-\frac{6}{5})\)
Do \(AH \perp HN \Rightarrow AH\) đi qua H và nhận n (4;3) là 1 VTPT
\(\Rightarrow\) phương trình AH là: 4x - 3y + 9 =0
Mà \(A =AH \cap AN\Rightarrow A(0,3).\)
Ta có: \(\overline{AD}=2\overline{BM}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2=2(-1-x_B)\\ -4=2(0-y_B) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_B=-2\\ y_B=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-2;2)\)
Vì M là trung điểm BC \(\Rightarrow\) C(0;-2).
Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(0;3), B(-2;2), C(0;-2), D(2;-1)