Cho hai số là \(x,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + {y^2} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\).

Ta có: \(4{x^2} + {y^2} = 4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} \le 4\\{y^2} \le 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 1\\{y^2} \le 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ - 2 \le y \le 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^2} = 1\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\\dfrac{y}{2} = \cos t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.\)

Ta có:

\(M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\sin t} \right)^2} - 3.\sin t.2\cos t + 2{\left( {2\cos t} \right)^2}\\ = {\sin ^2}t - 3\sin 2t + 8{\cos ^2}t\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t}}{2} - 3\sin 2t + 8.\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8\left( {1 + \cos 2t} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8 + 8\cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{9 + 7\cos 2t - 6\sin 2t}}{2}\end{array}\)

Xét \(N = 7\cos 2t - 6\sin 2t\).

Áp dụng BĐT \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{N^2} = {\left( {7\cos 2t - 6\sin 2t} \right)^2}\\ \le \left( {{7^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}2t + {{\sin }^2}2t} \right)\\ = 85.1 = 85\\ \Rightarrow {N^2} \le 85 \Rightarrow  - \sqrt {85}  \le N \le \sqrt {85} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9 - \sqrt {85}  \le 9 + N \le 9 + \sqrt {85} \\ \Rightarrow \dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2} \le M \le \dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\end{array}\)

Do đó GTNN của \(M\) là \(\dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2}\) và GTLN của \(M\) là \(\dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\).