Cho hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right)\): \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\). Lập phương trình tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\).

Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình: \(y = kx + m\) hay \(kx - y + m = 0\).

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},\Delta ) = {R_1}\\d({I_2},\Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left| {3k + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2\,\,(1)\\\dfrac{{\left| {6k - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1\,\,(2)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\).

Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow m = 6 - 9k\)  (3)

Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{k_1} = \dfrac{{9 + \sqrt {17} }}{8}\\{k_2} = \dfrac{{9 - \sqrt {17} }}{8}\end{array} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được \(\left[ \begin{array}{l}{k_1} = 6 - 9{k_1}\\{k_2} = 6 - 9{k_2}\end{array} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\)\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\)

Trường hợp 2: \(3k + m =  - 2(6k - 3 + m)\)\( \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k\)\( \Leftrightarrow m = 2 - 5k\) (4)

Thay vào (2) ta được \(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)\( \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\)\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Thay giá trị của \(k\) vào (4) ta được \(m = 2\).

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _3}:y = 2.\)    

Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với \(Ox\) tại \({x_0}\):\({\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\)

\({\Delta _4}\) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1}\\d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3 - {x_0}} \right| = 2\\\left| {6 - {x_0}} \right| = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = 5\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 5\\{x_0} = 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5\)

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _4}:x - 5 = 0\).

Vậy hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\)và \({\Delta _4}\).