Cho giá trị của \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(2\). Hãy chứng minh rằng \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\)

Tam giác có chu vi bằng \(2\) nên \(a + b + c = 2\).

\(a,b,c\) là ba cạnh của tam giác nên \(a < b + c\) \( \Rightarrow 2a < a + b + c = 2 \Rightarrow a < 1\).

Tương tự ta cũng có \(b,c < 1\) nên \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \\+ 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ + 16\left( {a + b + c} \right) - 12 \le 0\\ \Leftrightarrow 9{a^3} + 9{b^3} + 9{c^3} - 21{a^2} - 21{b^2} - 21{c^2}\\ + 16a + 16b + 16c - 4 - 4 - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{a^3} - 21{a^2} + 16a - 4} \right)\\ + \left( {9{b^3} - 21{b^2} + 16b - 4} \right)\\ + \left( {9{c^3} - 21{c^2} + 16c - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {9{a^2} - 12a + 4} \right)\\ + \left( {b - 1} \right)\left( {9{b^2} - 12b + 4} \right)\\ + \left( {c - 1} \right)\left( {9{c^2} - 12c + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2}\\ + \left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2}\\ + \left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0\end{array}\)

Dễ thấy \(a < 1 \Rightarrow a - 1 < 0\) và \({\left( {3a - 2} \right)^2} \ge 0,\forall a\) nên \(\left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2} \le 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\).

Tương tự,

\(\begin{array}{l}\left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2} \le 0,\forall b \in \left( {0;1} \right)\\\left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0,\forall c \in \left( {0;1} \right)\end{array}\)

Do đó bđt trên luôn đúng với mọi \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).

Vậy \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\) (đpcm).