Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\) và đường thẳng \(d: 2x+y-1=0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \((C)\), biết \(\Delta \) song song với \(d\). Tìm tọa độ tiếp điểm.

\((C)\) có tâm \(I(1 ; -3)\), bán kính  \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} - 5}  = \sqrt 5 \).

\(\Delta //d \Rightarrow   \Delta \) có phương trình : \(2x + y + m = 0  (m \ne  - 1)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với \((C)\)

\( \Leftrightarrow   d(I ; \Delta ) = R  \\  \Leftrightarrow    \dfrac{{|2 - 2 + m|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5  \\   \Leftrightarrow   |m - 1| = 5  \\  \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m =  - 4.\end{array} \right.\)

Có hai tiếp tuyến cần tìm là :

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:  2x + y + 6 = 0;\\{\Delta _2}:  2x + y - 4 = 0.\end{array}\)

Tọa độ tiếp điểm \(M\) của \({\Delta _1}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 6 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)

\(   \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 4\end{array} \right.\). Vậy \(M=(-1 ; -4).\)

Tọa độ tiếp điểm N của \({\Delta _2}\) với \((C)\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 5 = 0\end{array} \right. \)

\(   \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 2\end{array} \right.\). Vậy \(N=(3 ; -2).\)