Cho biết giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\) là:

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}} = \left( {\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) + \frac{1}{2}\)

Với \(x > 1\) ta có: \(\frac{{x - 1}}{2},\,\,\,\frac{2}{{x - 1}}\) là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\frac{{x - 1}}{2},\,\,\,\frac{2}{{x - 1}}\)  ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}}  = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2} \ge 2 + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge \frac{5}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\x - 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\) với \(x > 1\) là \(\frac{5}{2}\) khi \(x = 3.\)

Chọn D.