Cho biết có \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1\). Tìm các giá trị của m để bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm.

TH1: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.\)

+) Nếu \(m = 2\) thì \(f\left( x \right) = 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên bpt \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm (thỏa mãn)

+) Nếu \(m =  - 2\) thì \(f\left( x \right) =  - 4x + 1\).

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 4x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow  - 4x <  - 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Do đó bpt có nghiệm \(x > \dfrac{1}{4}\) (không thỏa mãn).

TH2: \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\)

Khi đó bpt \(f\left( x \right) < 0\) \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 4} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m + 4 - 4{m^2} + 16 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\ - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với \(m = 2\) ta được \(m \ge 2\) hoặc \(m <  - \dfrac{{10}}{3}\).