Cho biết 3 đường thẳng có phương trình sau \({\Delta _1}:x + y + 3 = 0;\)\({\Delta _2}:x - y - 4 = 0;\)\({\Delta _3}:x - 2y = 0\) Tìm tọa độ điểm M nằm trên \({\Delta _3}\) sao cho khoảng cách từ M đến \({\Delta _1}\) bằng 2 lần khoảng cách từ M đến \({\Delta _2}\).

Ta có: \({\Delta _3}:x - 2y = 0 \Leftrightarrow x = 2y\).

Cho \(x = t \in \mathbb{R}\) thì \(x = 2t\) ta được tọa độ điểm \(M \in {\Delta _3}\) là \(M\left( {2t;t} \right)\).

\(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \dfrac{{\left| {2t + t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {3t + 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\) 

\(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \dfrac{{\left| {2t - t - 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \dfrac{{\left| {t - 4} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\(\begin{array}{l}d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2d\left( {M,{\Delta _2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3t + 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2.\dfrac{{\left| {t - 4} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {3t + 3} \right| = 2\left| {t - 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 3 = 2\left( {t - 4} \right)\\3t + 3 =  - 2\left( {t - 4} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3t + 3 = 2t - 8\\3t + 3 =  - 2t + 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 11\\t = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - 22; - 11} \right)\\M\left( {2;1} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai điểm M thỏa mãn là \({M_1}\left( { - 22; - 11} \right),\,\,{M_2}\left( {2;1} \right)\)

Chọn C