Cho ba điểm phân biệt \(A, B, C.\) Chứng tỏ rằng \(\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + (1 - t)\overrightarrow {IC} \) là điều kiện cần và đủ để ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {IC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {1 - t} \right)\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = t\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {IA} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left[ {t\overrightarrow {IA} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {IA} } \right] + t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {t + 1 - t} \right)\overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow 0 = t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow t\overrightarrow {AB} + \left( {1 - t} \right)\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{{t - 1}}{t}\overrightarrow {AC} \) (do \(t\ne 0\))

\(\Leftrightarrow \) ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.