Cho ba điểm \(A(2;1), B(0;5), C(-5;-10)\). Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

\(G\) là trọng tâm tam giác nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{2 + 0 - 5}}{3} =  - 1\\{y_G} = \dfrac{{1 + 5 - 10}}{3} =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm tam giác. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right.\)

\(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 2;y - 1} \right)\), \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 15} \right)\), \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x;y - 5} \right),\) \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7; - 11} \right)\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {x - 2} \right) - 15\left( {y - 1} \right) = 0\\ - 7x - 11\left( {y - 5} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 5\\7x + 11y = 55\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Khi đó \(IA = IB = IC\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2}\\{x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 10} \right)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 4 - 2y + 1 =  - 10y + 25\\ - 10y + 25 = 10x + 25 + 20y + 100\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4x + 8y = 20\\ - 10x - 30y = 100\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 7\\y =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( { - 1; - \dfrac{4}{3}} \right),H\left( {11; - 2} \right),I\left( { - 7; - 1} \right)\)