Cho \(A(1; 2), \, \, B(-3; 1)\) và \(C(4; -2)\). Tìm tập hợp điểm \(M\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\).

Gọi \((x; y)\) là tọa độ của điểm \(M\).

\(\begin{array}{l}
AM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\
\Rightarrow A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\
= {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4\\
= {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5\\
BM = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
\Rightarrow B{M^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
= {x^2} + 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1\\
= {x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10\\
CM = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \\
\Rightarrow C{M^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\
= {x^2} - 8x + 16 + {y^2} + 4y + 4\\
= {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20
\end{array}\)

Theo giả thiết, ta có: \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = C{M^2}\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5} \right)\\
\,\, + \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10} \right)\\
\,\, = {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20\\
\Leftrightarrow (2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 6y + 15)\\
- \left( {{x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 12x + 36} \right) + \left( {{y^2} - 10y + 25} \right) - 66 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 66
\end{array}\)

Vậy quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức \(M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}\) là đường tròn tâm \(I (-6; 5)\) và bán kính \(R  = \sqrt{66}\).