Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = ax+b\) trong mỗi trường hợp a > 0; a < 0.

Hàm số \(y = ax+b\)

+) Khi \(a>0\) thì hàm số đồng biến trên \((-∞, +∞)\) hay đồng biến trên R.

+) Khi \(a<0\) thì hàm số nghịch biến trên \((-∞, +∞)\) hay nghịch biến trên R.

Chú ý:

Cách chứng minh như sau:

Với mọi \(x_1,x_2 \in R\) mà \(x_1 < x_2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)\\
= \left( {a{x_1} + b} \right) - \left( {a{x_2} + b} \right)\\
= a{x_1} + b - a{x_2} - b\\
= a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)
\end{array}\)

Do đó:

+) Nếu \(a > 0\) thì \(a\left( {{x_1} - {x_2}} \right) < 0\) (do \({{x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0}\))

Suy ra \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) nên hàm số đồng biến trên R.

+) Nếu \(a < 0\) thì \(a\left( {{x_1} - {x_2}} \right) > 0\) (do \({{x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} - {x_2} < 0}\))

Suy ra \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) nên hàm số nghịch biến trên R.