Bất phương trình \((x+1) \sqrt x ≤ 0\) tương đương với bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

Giải bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0\).

ĐK: \(x \ge 0\).

Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0\)

Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \le 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\sqrt x  = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy bpt có tập nghiệm \(S = \left\{ 0 \right\}\).

Đáp án A: \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \le 0\)

ĐK: \(x{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)

Khi đó \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \ge 0\) nên bpt \(\sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  \le 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}  = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_1} = \left\{ { - 1;0} \right\}\) nên hai bpt không tương đương.

Loại A.

Đáp án B: \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  < 0\)

ĐK: \(x \ge 0\)

Khi đó \(x + 1 \ge 1 > 0\) nên \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0\)

Do đó bpt \(\left( {x + 1} \right)\sqrt x  < 0\) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_2} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.

Loại B.

Đáp án C: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \le 0\)  

ĐK: \(x \ge 0\)

Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \ge 0,\forall x \ge 0\)

Do đó bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \le 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\sqrt x  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {loai} \right)\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy bpt có tập nghiệm \({S_3} = \left\{ 0 \right\} = S\).

Do đó hai bpt tương đương.

Chọn C.

Đáp án D: \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  < 0\)

ĐK: \(x \ge 0\).

Khi đó \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  \ge 0\) nên bpt \({\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt x  < 0\) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của bpt là \({S_4} = \emptyset \) hay hai bpt không tương đương.

Loại D.

Chọn C.