Bài 25 trang 78 sách bài tập Đại số 10

d​) Đkxđ: \(x\ne3\).
\(\dfrac{x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}}{x-3}=2x+m\)\(\Rightarrow x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}=\left(2x+m\right)\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+x\left(8m-20\right)+21-12m=0\) (*)
​Nếu 3 là một nghiệm của (*) ta có:
\(4.3^2+3\left(8m-20\right)+21-12.m=0\)\(\Leftrightarrow12m-3=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\).
Thay \(m=\dfrac{1}{4}\) vào phương trình ta được:
\(4x^2-18x+18=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\).
​Với \(m\ne\dfrac{1}{4}\)
\(\Delta=\left(8m-20\right)^2-4.4.\left(21-12m\right)\)\(=64\left(m^2-2m+1\right)=64\left(m-1\right)^2\)
​Dễ thấy \(\Delta>0\) \(,\forall m\ne1\) và \(\Delta=0\) khi m = 1.
​- Với m = 1 phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=-\dfrac{8m-20}{2.4}=\dfrac{3}{2}\)
​- Với \(m\ne1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(8m-20\right)+\sqrt{64\left(m-1\right)^2}}{2.4}\)\(=\dfrac{-8m+20+8\left(m-1\right)}{8}=\dfrac{3}{2}\).
\(x_2=\dfrac{-\left(8m-20\right)-\sqrt{64\left(m-1\right)^2}}{2.4}\)\(=\dfrac{-8m+20-8\left(m-1\right)}{8}=\dfrac{7-4m}{2}\)
Biện luận:
​Với \(m=\dfrac{1}{4}\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{3}{2}\).
​Với \(m=1\) phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{3}{2}\)
​Với \(m\ne\dfrac{1}{4}\) và \(m\ne1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{3}{2};x_2=\dfrac{7-4m}{2}\).