Ba phân số đều có tử số là \(1\) và tổng của ba phân số đó là \(1\). Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \(5\) lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.

Gọi các phân số cần tìm là \(x,\;y,\;z\;\;\left( {x,\;y,\;z \in Q} \right).\)

Tổng của ba phân số bằng \(1\) nên ta có phương trình: \(x + y + z = 1\;\;\;\left( 1 \right).\)

Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba nên: \(x - y = z\;\;\;\;\left( 2 \right).\)

Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng \(5\) lần phân số thứ ba nên: \(x + y = 5z\;\;\;\;\left( 3 \right).\)

Từ \(((1), \, (2)\) và \((3)\) ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\\x - y = z\\x + y = 5z\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 1\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\x - y - z = 0\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\\x + y - 5z = 0\;\;\;\;\;\left( 5 \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - z = 0\\2x = 1\;\;\;\left( {do\;\;\left( 1 \right) + \left( 4 \right)} \right)\\2x - 6z = 0\;\;\;\left( {do\;\;\;\left( 4 \right) + \left( 5 \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = x - z\\z = \frac{1}{6}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\\y = \frac{1}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\z = \frac{1}{6}\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy các phân số cần tìm là: \(\frac{1}{2}, \, \, \frac{1}{3}, \, \,  \frac{1}{6}. \)