Chứng minh A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+...+2^58+2^59+2^60 chia hết cho 7

Chi can gi ra roi cong lai cac so mu thi chia het cho 7

Chi can gi ra roi cong lai cac so mu thi chia het cho 7

Chi can gi ra roi cong lai cac so mu thi chia het cho 7

Chi can gi ra roi cong lai cac so mu thi chia het cho 7

Chi can ghi ra roi cong cac so mu lai thoi thi dem chia di roi xem co chia het cho 7 ko

Chi can ghi ra roi cong cac so mu lai thoi thi dem chia di roi xem co chia het cho 7 ko

Chi can ghi ra roi cong cac so mu lai thoi thi dem chia di roi xem co chia het cho 7 ko

     

     

     

     

có

A=(2+2^2+2^3)+(2^4+2^5×2^6)+...+(2^58+2^59+2^60)

A=2(1+2+4)+2^4(1+2+4)+...+2^58(1+2+4)

A=2.7+2^4.7+...+2^58.7

A=7(2+2^4+...+2^58)

Vì 7chia hết cho 7

Suy ra A chia hết cho 7

A=2+2² +2³+2⁴+2⁵+2⁶+...+2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰

A= (2¹+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶) +...+(2⁵⁵+2⁵⁶+2⁵⁷+2⁵⁸+2⁵⁹+2⁶⁰)

A=2.(1+2+3+4+5+6)+...+2⁵⁵.(1+2+3+4+5+6)

A=2.21+...+2⁵⁵.21

A=21.(2+...+2⁵⁵) => A chia hết cho 7

Ta có: A= 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰= (2 +2²) + (2³+ 2⁴) + … + (2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (2 + 1) + 2³ x (2 + 1) + … + 2⁵⁹ x (2 + 1).

= 2 x 3 + 2³ x 3 + … + 2⁵⁹ x 3.

= 3 x ( 2 + 2³ + … + 2⁵⁹).

Vì A = 3 x ( 2 + 2³ + … + 2⁵⁹)  nên A chia hết cho 3.

A= (2 +2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵  + 2⁶) + … + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (1 + 2 + 2²) + 2⁴x (1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸ x (1 + 2 + 2²).

= 2 x 7 + 2⁴ x 7 + … + 2⁵⁸ x 7.

= 7 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸).

Vì A = 7 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)  nên A chia hết cho 7.

A= (2 +2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶  + 2⁷ + 2⁸) + … + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰).

= 2 x (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵x (1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷ x (1 + 2 + 2² + 2³).

= 2 x 15 + 2⁵ x 15 + … + 2⁵⁷ x 15.

= 15 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸).

Vì A = 15 x ( 2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)  nên A chia hết cho 15.

Ta có: B= 3 + 3³ + 3⁵ + … + 3¹⁹⁹¹= (3 + 3³ + 3⁵) + (3⁷+ 3⁹ + 3¹¹ ) + … + (3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴) + 3⁷x (1 + 3² + 3⁴) + … + 3¹⁹⁸⁷ x (1 + 3² + 3⁴).

= 3 x 91 + 3⁷ x 91 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 91= 3 x 7 x 13 + 3⁷  x 7 x 13 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7 x 13.

= 13 x ( 3x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7).

Vì B = 13 x ( 3x 7 + 3⁷ x 7 + … + 3¹⁹⁸⁷ x 7) nên B chia hết cho 13.

B= (3 + 3³ + 3⁵ + 3⁷) +  … + (3¹⁹⁸⁵ + 3¹⁹⁸⁷ + 3¹⁹⁸⁹ + 3¹⁹⁹¹).

= 3 x (1 + 3² + 3⁴  + 3⁶) +  … + 3¹⁹⁸⁵ x (1 + 3² + 3⁴ ​+ 3⁶).

= 3 x 820 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 820= 3 x 20 x 41 + … + 3¹⁹⁸⁵ x 20 x 41.

= 41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20)

Vì B =41 x ( 3 x 20 + .. +  3¹⁹⁸⁵ x 20) nên B chia hết cho 41