-
Câu hỏi:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1). Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.
-
A.
\(x + y + 2z - 11 = 0\;\)
-
B.
\(8x + y + z - 66{\rm{ = }}0\)
-
C.
\(2x + y + z - 18 = 0\)
-
D.
\(x + 2y + 2z - 12 = 0\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a, b, c>0\). Theo đề bài ta có : \(\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\). Cần tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2} + {c^2}\).
Ta có
Mặt khác \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)^2} \Rightarrow 6.\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {2a + b + c} \right)^2} \)
\(\begin{array}{c}
\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {4 + 1 + 1} \right)} \ge \left( {a.2 + b.1 + c.1} \right)\\
\ge \left( {2a + b + c} \right)\left( {\frac{8}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\\
\ge {\left( {4 + 1 + 1} \right)^2} = 36
\end{array}\)Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {6^3}\). Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{{{a^2}}}{4} = {b^2} = {c^2} \Rightarrow a = 2b = 2c.\)
Vậy \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi \(a = 12,b = c = 6\).
Vậy phương trình mặt phẳng là : \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1\) hay \(x + 2y + 2z - 12 = 0\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng Oxy sao cho \(\overrightarrow {MA} .
- Cho điểm A(3;5;0) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - z - 7 = 0\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và hai đi�
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;-1;1), B(2;1;-2), C(0;0;1).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.ABCD có A(1;2;-1), C(3;-4;1), B(2;-1;3) và D(0;3;5).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng \(\left( \alpha \r
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5).
- Tìm tọa độ điểm D biết tứ giác ABCD là hình bình hành có A(1;0;3), B(2;3;-4), C(-3;1;2)
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), C(4;5;-5), D(1;-1;1).
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;- 2;- 1) và B(1; - 1;2).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(M\left( {3;0;0} \right),\,N\left( {0;0;4} \right)\).
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2;6;- 3) và các mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2 = 0,\,\left( \
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(- 1;2;4), B(- 1;1;4), C(0;0;4). Tìm số đo của \(\widehat {ABC}\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {3; - 1;1} \right)\) và C(1;1;1).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(- 1;2;1), B(0;0;- 2), C(1;0;1), D(2;1;- 1).
- Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x - y + 3z - 1 = 0\).
- Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB với \(A\left( {1; - 2;3} \right),B
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {0; - 3; -
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;2;- 5). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên các trục Ox, Oy, Oz.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {1;1;1} \right),C\left( {2;3;0} \right)\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(12;8;6).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 3z + 2 = 0\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 4z - 16 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{z}{2}\) tìm mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(10;2 - 1) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\).
- Cho điểm M(2;1;- 1) và hai mặt phẳng \((P): x - y + z - 4 = 0, (Q):3x - y + z - 1 = 0\).
- Cho điểm M(3;2;1).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M cắt trục Ox, Oy, OZ lần lượt tại A, B, C sao cho \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G(1;2;3).Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tam giác ABC.
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E(8;1;1).
- Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {3; - 1;5} \right)\).
- Trong không gian với tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = y + 1 = z - 3\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x +
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;2;1} \right),B\left( {3;1;0} \right),C\left( {3; - 1;2} \right)\).
- Cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1};\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 +
- Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 4z - 2 = 0\).
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {6;2; - 5} \right),N\left( { - 4;0;7} \right)\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1;2} \right),\,\,B\left( {3;0;1} \right)\) v�
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I nằm trên mặt phẳng (Oxy) và đi qua ba điểm A(1;2;- 4), B(1;-
- Bán kính mặt cầu tâm I(4;2;- 1) và tiếp xúc với mặt phẳng \((\alpha ):12x - 5z - 19 = 0\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;- 1) và tiếp xúc v
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3
