-
Câu hỏi:
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD, với \(A\left( 1;2;5 \right),B\left( -1;2;7 \right), C\left( 4;2;2 \right),D\left( 0;6;-10 \right).\) Hai điểm P;Q di động trong không gian thỏa mãn PA=QB,PB=QC,PC=QD,PD=QA. Biết rằng mặt phẳng trung trực của đoạn PQ luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left( a;b;c \right)\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)
-
A.
9
-
B.
13
-
C.
11
-
D.
5
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Từ giả thiết PA = QB;PB = QC;PC = QD;PD = QA suy ra \({\overrightarrow {PA} ^2} = {\overrightarrow {QB} ^2};{\overrightarrow {PB} ^2} = {\overrightarrow {QC} ^2};{\overrightarrow {PC} ^2} = {\overrightarrow {QD} ^2};{\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\overrightarrow {PA} ^2} + {\overrightarrow {PB} ^2} + {\overrightarrow {PC} ^2} + {\overrightarrow {PD} ^2} = {\overrightarrow {QA} ^2} + {\overrightarrow {QB} ^2} + {\overrightarrow {QC} ^2} + {\overrightarrow {QD} ^2}\\ \Rightarrow \left( {{{\overrightarrow {PA} }^2} - {{\overrightarrow {QA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PB} }^2} - {{\overrightarrow {QB} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PC} }^2} - {{\overrightarrow {QC} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {PD} }^2} - {{\overrightarrow {QD} }^2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {PA} - \overrightarrow {QA} } \right)\left( {\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {QA} } \right) + \left( {\overrightarrow {PB} - \overrightarrow {QB} } \right)\left( {\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {QB} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} - \overrightarrow {QC} } \right)\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {QC} } \right) + \left( {\overrightarrow {PD} - \overrightarrow {QD} } \right)\left( {\overrightarrow {PD} + \overrightarrow {QD} } \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {QP} .2\overrightarrow {DI} = 0 \end{array}\)
(Với I là trung điểm của đoạn thẳng PQ)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {PQ} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right) = 0 \Rightarrow 8\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {IG} = 0\)
(Với G(1;3;1) là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IG} \))
\( \Rightarrow IG \bot PQ\) tại trung điểm I của đoạn PQ \( \Rightarrow IG\) nằm trong mặt phẳng trung trực của đoạn PQ, suy ra mặt phẳng trung trực đoạn thẳng PQ đi qua điểm cố định G(1;3;1) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 11.\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh gồm một nam và một nữ từ nhóm học sinh có 5 nam và 7 nữ?
- Cho cấp số nhân (un) có u1 = 2 và u5 = 32. Tìm công bội của cấp số nhân đã cho.
- Ngiệm của phươg trình \(\log {}_2^{}\left( {x - 1} \right) = 3\) là
- Khối chóp có diện tích đáy bằng a2, chiều cao bằng 2a có thể tích bằng
- Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^{ - 3}}\) là
- Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) bằng
- Khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 3(cm), 7(cm), 4(cm). Thể tích khối hộp đó bằng
- Cho hình trụ tròn xoay có chiều cao h= 5, bán kính đáy r = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
- Cho khối cầu có bán kính bằng 2. Thể tích khối cầu đã cho bằng
- Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) có bảng biến thiên như sau: Giá trị của a và b bằng
- Cho a là số thực dương bất kỳ, giá trị biểu thức M= \({9^{{{\log }_3}a}}\) bằng
- Một khối nón có thể tích bằng 27, diện tích đáy bằng 6. Chiều cao của khối nón đó bằng
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:Gía trị cực tiểu của hàm số đã cho bằg
- Đồ thị hàm số nào sau đây có dạng như hình vẽ
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là
- Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} > 1\) là
- Cho hàm số bậc ba y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 5 = 0\) là
- Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=-5\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx=3.}\)Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f\left( x \right)+3g\left( x \right) \right]}dx.\)
- Mô đun của số phức z = 3 - 2i bằng
- Xác định phần thực của số phức \(z = - 2i\left( {3 - 5i} \right)\)
- Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là A(2;-3)?
- Trong không gian Oxyz, một véc tơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số là
- Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 5\overrightarrow k .\) Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow u \) là
- Trong không gian Oxyz mặt phẳng đi qua điểm A(1;-2;3) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;4} \right)\) có phương trình là
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 3;5} \right)\), bán kính R = 3 có phương trình là
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. \(SA\bot mp\left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{6}\) (hình vẽ minh họa bên dưới). Góc giữa đường thẳng SC và \(mp\left( ABCD \right)\) bằng
- Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+bx+1\) có điểm cực đại \(A\left( 1;5 \right)\). Khi đó b-a bằng
- Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;2] bằng
- Cho \({\log _2}3 = a;{\log _2}5 = b.\) Tính \({\log _3}15\) theo a và b.
- Gía trị nguyên dương bé nhất của tham số m để đường thẳng y = mx - 9 cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x\) tại hai điểm phân biệt là
- Tập nghiệm của bất phương trình \({\ln ^2}x - 3\ln x + 2 \le 0\) là
- Tính thể tích của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh trục đối xứng của nó.
- Bằng cách đặt \(u = \ln x + 2\) thì tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) trở thành tích phân nào sau đây?
- Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2 (như hình vẽ bên) Đặt \(a = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx,\;b = \mathop \smallint \limits_0^2 f\left( x \right)dx.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Tìm số phức z biết \(\left( {1 - 2i} \right)z - 6 + 2i = 0\).
- Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \({z^2} - 6z + 13 = 0.\) Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn \(\left| {{\rm{w}} - {z_1}} \right| = 5\) là một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đó
- Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng 3x - y + 4z - 2 = 0 có phương trình là
- Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 5;-1;3 \right)\) đi qua điểm \(A\left( 2;4;7 \right)\) có phương trình là
- Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ được xếp đứng ngẫu nhiên thành một hàng ngang để tham dự chào cờ. Tính xác suất để không có bất kỳ hai học sinh nữ nào xếp đứng cạnh nhau
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a\sqrt{7}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
- Số các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y=\frac{mx-4}{x-m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( 4;+\infty \right)\) là
- Các nhà khoa học đã tính toán được rằng khi nhiệt độ trung bình của trái đất tăng thêm \({{2}^{0}}C\) thì mực nước biển tăng lên 0,03(m). Nếu nhiệt độ tăng lên \({{5}^{0}}C\) thì mực nước biển tăng lên 0,1(m) và người ta đưa ra công thức tổng quát như sau: Nếu nhiệt độ trung bình của trái đất tăng lên \({{t}^{0}}C\) thì nước biển dâng lên \(f\left( t \right)=k.{{a}^{t}}\left( m \right)\) trong đó k,a là hằng số dương. Hỏi nếu mực nước biển tăng lên 0,2 (m) thì nhiệt độ trung bình của trái đất khi đó tăng lên gần với số nào nhất trong các số sau?
- Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây đúng?
- Cho hình nón có chiều cao bằng 2a. Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón cách tâm đường tròn đáy của hình nón một khoảng bằng a là một tam giác đều. Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho.
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 0;\frac{\pi }{6} \right].\) Biết \(F\left( x \right)=\sin x\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{f\left( x \right)}{{{\cos }^{2}}2x}\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{{{f}^{/}}\left( x \right)\tan 2xdx}.\)
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m để phương trình \(4{{\cos }^{4}}x-8{{\cos }^{2}}x-m+1=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{3\pi }{2} \right]?\)
- Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x - \left| y \right|.\)
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+1}{\left( x-1 \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-mf\left( x \right) \right]}\) có 5 đường tiệm cận đứng. Tính tổng các phần tử của tập S.
- Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD, với \(A\left( 1;2;5 \right),B\left( -1;2;7 \right), C\left( 4;2;2 \right),D\left( 0;6;-10 \right).\) Hai điểm P;Q di động trong không gian thỏa mãn PA=QB,PB=QC,PC=QD,PD=QA. Biết rằng mặt phẳng trung trực của đoạn PQ luôn đi qua điểm cố định có tọa độ \(\left( a;b;c \right)\). Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.\)
- Xác định tham số thực m để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+4y+8-m=0\) có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn bất phương trình \(\log _{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}^{{}}\left( 2x+2y+4 \right)\ge 1\).
