-
Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(MA,MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau và biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a+b+c\) bằng
-
A.
\(-\frac{464+4\sqrt{58}}{29}.\)
-
B.
\(-6.\)
-
C.
\(6.\)
-
D.
\(\frac{464-4\sqrt{58}}{29}.\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó:
\(AH=d\left( A;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -10 \right)-2.6-\left( -2 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6\);
\(BK=d\left( B;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -5 \right)-2.10-\left( -9 \right)+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=3\).
Vì \(MA\), \(MB\) tạo với \(\left( \alpha \right)\) các góc bằng nhau nên \(\widehat{AMH}=\widehat{BMK}\). Từ \(AH=2BK\) suy ra \(MA=2MB\).
Ta có: \(MA=2MB\)\(\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{B}^{2}}\)
\(\Leftrightarrow {{\left( a+10 \right)}^{2}}+{{\left( b-6 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}=4\left[ {{\left( a+5 \right)}^{2}}+{{\left( b-10 \right)}^{2}}+{{\left( c+9 \right)}^{2}} \right]\)
\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{20}{3}a-\frac{68}{3}b+\frac{68}{3}c+228=0\).
Như vậy, điểm \(M\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -\frac{10}{3};\frac{34}{3};-\frac{34}{3} \right)\) và bán kính \(R=2\sqrt{10}\).
Mà \(M\) thuộc \(\left( \alpha \right)\)
Do đó, M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) là giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), nên tâm \(J\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Tìm được \(J=\left( -2;10;-12 \right)\) và bán kính \(\left( C \right)\) là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{J}^{2}}}=6\)
Gọi điểm \(E\) thỏa mãn \(2\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow E\left( -15;2;5 \right).\)
Khi đó \(T=2{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB} \right)}^{2}}=M{{E}^{2}}+2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) và \(2E{{A}^{2}}-E{{B}^{2}}\) không đổi.
Vậy \({{T}_{\min }}\Leftrightarrow M{{E}_{\text{min}}}\)
Gọi \(F\) là hình chiếu của \(E\) trên \(\left( \alpha \right)\), tìm được \(F\left( -9;-4;2 \right)\Rightarrow FJ=21>r\) nên \(F\) nằm ngoài\(\left( C \right)\).
Suy ra \(F{{M}_{\min }}=FJ-r=15.\)
Khi đó \(M{{E}_{\text{min}}}=\sqrt{E{{F}^{2}}+FM_{\min }^{2}}=3\sqrt{34}\) khi \(M\) là giao điểm của \(FJ\) và \(\left( C \right)\), M nằm giữa \(F,J\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{FM}=\frac{15}{21}\overrightarrow{FJ}=\frac{5}{7}\overrightarrow{FJ}\Rightarrow M\left( -4;6;-8 \right)\Rightarrow a+b+c=-6.\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Biết \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\,dx=2\) và \(\int\limits_{1}^{5}{f\left( x \right)}\,dx=5\)
- Cho khối chóp có thể tích \(4{{a}^{3}}\) và diện tích đáy \(4{{a}^{2}}.\) Chiều cao của khối chóp đã cho bằng
- Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sin x\),
- Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên?
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-5=0.\) Tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\) có tọa độ là
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho \(\vec{a}=\left( 1;-2;3 \right)\) và \(\vec{b}=\left( -1;3;0 \right)\). Vectơ \(\vec{a}-\vec{b}\) có tọa độ là
- Cho khối lăng trụ tam giác có chiều cao \(h=3\) và đáy là tam giác đều cạnh \(a=2.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
- Một cấp số cộng có hai số hạng liên tiếp là \(-6\) và \(4.\) Số hạng tiếp theo của cấp số cộng là
- Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=3\) và độ dài đường sinh \(l=5.\) Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sauTiệm cận ngang của đồ thị hàm số
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{0,5}}x+2\ge 0\) là
- Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình sau
- Cho số thực \(a\) thỏa mãn \({{a}^{3}}>{{a}^{\pi }}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên
- Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 9-{{x}^{2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}+{{\left( x-2 \right)}^{-2}}\) là
- Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \({{\log }_{3}}b-2{{\log }_{9}}a=2.\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- Một họa sĩ cần trưng bày \(10\) bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang.
- Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
- Trong không gian \(Oxyz,\) vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( Oxy \right)?\)
- Nghiệm của phương trình \({{2}^{1-3x}}=\frac{1}{32}\) là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 1;-2;5 \right)\) và \(B\left( -2;-2;1 \right).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
- Cho khối nón có bán kính đáy \(r=3\) và góc ở đỉnh bằng \(60{}^\circ \). Thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
- Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
- Biết \(F\left( x \right)={{x}^{2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên
- Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- Đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( 3x+1 \right)\) là
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -2;0;1 \right)\) và \(B\left( -2;2;-3 \right).\)Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6x\) trên đoạn \(\left[ -1;4 \right]\) là
- Năm \(2023\) một hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là \(750.000.000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(2%\) giá bán so với giá bán của năm liền trước
- Số nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+4x \right)\)\( +{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 3x+6 \right)=0\) là
- Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A{A}'=AD=a\), \(AB=a\sqrt{2}\) (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy, tam giác \(ABC\) có \(AB=a,\)\(AC=2a,\widehat{\,BAC}=120{}^\circ \) (tham khảo hình vẽ).
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'(x)=x.\cos 2x,\forall x\in \mathbb{R}\)
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=-x+2\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\)
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( 2;4;1 \right),B\left( -1;1;3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x-3y+2z-5=0.\)
- Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số và các chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1,2,3,4,5.\)
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( x-1 \right).\log \left( {{e}^{-x}}+m+2023 \right)=x-2\)
- Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB=5km.\) Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng \(BC=7km\)
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({{x}^{2}}f\left( {{x}^{5}} \right)+xf\left( 1-{{x}^{4}} \right)=-3{{x}^{4}}+x+3,\,\forall x\in \mathbb{R}\)
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8\) và
- Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn tâm \(O\) và \({O}'\), chiều cao \(h=a\sqrt{3}\). Mặt phẳng đi qua tâm \(O\) và tạo với \(O{O}'\) một góc \(30{}^\circ \)
- Xét các số thực \(x,y\)thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\) gần nhất với số nào dưới đây
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1;8 \right]\) và thỏa mãn
- Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(1\left( m \right)\) như hình vẽ bên.
- Cho hàm số bậc bốn \(f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\ \left( a,b,c,d,e\in \mathbb{R} \right)\) và
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) biết hàm số \(y={{f}'}'(x)\) là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên.
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( -10;6;-2 \right),B\left( -5;10;-9 \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-2y-z+12=0\).
- Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=3f\left( 2 \right)=-3\)