-
Câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng:
-
A.
6
-
B.
12
-
C.
7
-
D.
5
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Chọn B
Ta gọi điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)\( =\,\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MI}\)\( +\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\)\( +2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\).
Suy ra, \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\)\( =\left| 4\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right|\).
Ta chọn điểm \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) sao cho \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\,=\,\overrightarrow{O}\,\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & -x+2\left( 2-x \right)+4-x=0 \\ & 1-y+2\left( -1-y \right)+1-y\,=\,0 \\ & 1-z+2\left( 1-z \right)+1-z\,=\,0 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=\,0 \\ & z\,=\,1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\).
Vậy, với điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) ta có \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\). Do \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\notin \,\left( P \right)\) mà \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\in \,\left( P \right)\) nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi\(\left| 4\overrightarrow{MI} \right|\) có độ dài nhỏ nhất.
Vậy, để thỏa mãn điều kiện đó khi \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) là hình chiếu của \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) lên \(\left( P \right)\).
Ta gọi \(d\) là đường thẳng qua điểm \(I\left( 2\,;\,0\,;\,1 \right)\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Ta có phương trình của \(d\,:\,\frac{x-2}{1}\,=\,\frac{y}{1}\,=\,\frac{z-1}{1}\).
Do \(M=\,d\,\cap \,\left( P \right)\) nên tọa độ điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thỏa hệ phương trình
\(\left\{ \begin{align} & a-b\,=\,2 \\ & a\,-c\,=\,1 \\ & a+b+c\,=\,6 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\,=\,3 \\ & b\,=\,1 \\ & c\,=\,2 \\ \end{align} \right.\)
Suy ra \(\,2a+4b+c=2.3+4.1+2=12\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích bằng \(4\pi \). Thể tích khối cầu \(\left( S \right)\) bằng:
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng:
- Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( -2\,;-1\,;\,3 \right)\) và \(B\left( 0\,;\,3\,;\,1 \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\)
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
- Tập nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{16}}x=7\) là
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) là
- Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt{3}\). Thể tích khối lập phương đó bằng:
- Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:
- Môđun của số phức \(z=(-4+3i).i\) bằng:
- Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\)có \({{u}_{1}}=1,\,\,{{u}_{2}}=-2\).
- Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g(x)\text{d}x}=2\), khi đó \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+2g\left( x \right) \right]\text{d}x}\) bằng
- Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
- Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 4x+8 \right)-{{\log }_{2}}x\le 3\) là
- Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}} \right){{\left( x+2 \right)}^{3}},\forall x\in \mathbb{R}\)
- Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2i.\overline{z}=1+17i\). Khi đó \(\left| z \right|\) bằng
- Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa: \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng:
- Ký hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2z+11=0\)
- Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=2{{x}^{2}}+x+1\)
- Tìm tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{\left( m+1 \right)x-5m}{2x-m}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=1\)
- Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\).
- Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng
- Cho hai số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng
- Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình vẽ bên.
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x.\sin 2x\) là
- Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=2a\), gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
- Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\),
- Cho \(\int\limits_{1}^{3}{\frac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\text{dx}}=\frac{a}{b}\ln 3-c\ln 2\)
- Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( 3;-1;2 \right)\), \(B\left( -1;3;5 \right)\), \(C\left( 3;1;-3 \right)\)
- Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 1-i \right)\overline{z}=5+i\). Số phức \(\text{w}=2z+i\) là
- Biết \(\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x=2\) và
- Tại SEA Games 2019, môn bóng chuyền nam có 8 đội bóng tham dự, trong đó có hai đôi Việt Nam và Thái Lan.
- Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là
- Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=180-20t\,\left( m/s \right)\)
- Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3x-6{{m}^{3}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;\text{ }+\infty \right)\) là:
- Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+z-4=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=16\).
- Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh bằng 1.
- Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(3\left| z+\overline{z} \right|+2\left| z-\overline{z} \right|=12\) và \(\left| z+2-3i \right|=\left| \overline{z}-4+i \right|\)?
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên
- Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lập phương \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)
- Một chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ
- Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\).
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
- Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình
- Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,\,b\,\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\) và \(\left| z-6 \right|\) lớn nhất. Tính \(S=a+b\).
- Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( 2;1;3 \right),B\left( 6;5;5 \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đường kính \(AB\).
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ 1\,;2 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}f\left( x \right)\text{d}x}=-\frac{1}{3}\), \(f\left( 2 \right)=0\)
- Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là
- Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)\)
