Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên nên mặt đáy và các mặt bên là các tam giác đều bằng nhau có cạnh là \(a.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(ABC\) đều nên \(CI \bot AB.\)

Ta có: \(AI=AB:2=\dfrac{a}{2}\) 

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(CIA\), ta có:

\(A{C^2} = C{I^2} + A{I^2}\)

\( \Rightarrow C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} \)

\( \Rightarrow CI ^2= {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow CI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(\displaystyle{S_{ABC}} ={1 \over 2}.CI.AB= {1 \over 2}.a.{{a\sqrt 3 } \over 2}\)\( \displaystyle = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều đã cho là:

\(\displaystyle {S_{TP}} = 4.S_{ABC}=4.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {a^2}\sqrt 3 \) (đơn vị diện tích).