-
Câu hỏi:
Tích phân \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)}^2}}}dx} \) có gái trị là:
-
A.
\(I = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) + \frac{3}{8}\)
-
B.
\(I = \frac{{\sqrt 3 }}{8}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) + \frac{3}{8}\)
-
C.
\(I = - \frac{{\sqrt 3 }}{8}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) + \frac{3}{8}\)
-
D.
\(I = - \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) + \frac{3}{8}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có:
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)}^2}}}dx} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right)}^2}}}dx} I\\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{4{{\left[ {\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]}^2}}}dx} \end{array}\).
Đặt \(u = x + \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = u - \frac{\pi }{6} \Rightarrow dx = du\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{3} \Rightarrow u = - \frac{\pi }{6}\\ x = \frac{\pi }{3} \Rightarrow u = \frac{\pi }{2} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin \left( {u - \frac{\pi }{6}} \right)}}{{4{{\sin }^2}u}}du} \\ = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin u.\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}\cos u}}{{4{{\sin }^2}u}}du} \\ = \frac{1}{8}\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 .\sin u - \cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} \\ = \frac{1}{8}\left( {\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du - \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} } } \right) \end{array}\)
Xét \({I_1} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sqrt 3 \sin u}}{{1 - {{\cos }^2}u}}du} \).
Đặt \(t = \cos u,u \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow dt = - \sin udu\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} u = - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\frac{{\sqrt 3 dt}}{{1 - {t^2}}}} \\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} dt\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left. {\left( {ln\left| {\frac{{t + 1}}{{t - 1}}} \right|} \right)} \right|_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0\\ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) \end{array}\)
Xét \({I_2} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos u}}{{{{\sin }^2}u}}du} \).
Đặt \(t = \sin u,u \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dt = \cos udu\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} u = - \frac{\pi }{6} \Rightarrow t = - \frac{1}{2}\\ u = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).
\({I_2} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{{t^2}}}du} = \left. {\left( { - \frac{1}{t}} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^1 = - 3\).
\(\Rightarrow I = \frac{1}{8}\left( {{I_1} - {I_2}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\ln \left( {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{{ - \sqrt 3 + 2}}} \right) + \frac{3}{8}\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ax}}{{x + 1}} - 2ax} \right)dx} \) có giá trị là:
- Tích phân , với a khác 0 có giá trị là:
- Tích phân , với có giá trị là:
- Giá trị của tích phân gần nhất với gái trị nào sau đây?
- Tích phân có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
- Tích phân có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {a{x^2} + bx} \right)} dx\) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {a{x^3} + \frac{b}{{x + 2}}} \right)} dx\) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_2^a {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + 2x} \right)} dx\) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_0^a {x\sqrt {x + 1} } dx\) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx\) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|} dx\) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{\left| {{x^3} - 3x + 2} \right|}}{{x - 1}}} dx\) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}}} \right|} dx\) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{ax}}{{a{x^2} + 2}}dx} \),với \(a \ne - 2\) có gi trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{a^2}{x^3} + ax}}{{\sqrt {a{x^2} + 1} }}dx} \), với \a \ge 0\) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{\sqrt {\cos x} }}dx \) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_1^e {\frac{{2\ln x\sqrt {{{\ln }^2}x + 1} }}{x}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt[3]{7}} {\frac{{3{x^5}}}{{\sqrt[3]{{8 - {x^3}}}}}dx} \) có giá trị là:
- Tích phân có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{\ln 5}^{\ln 12} {\sqrt {{e^x} + 4} dx} \) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{5}{2}}^3 {\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - x} \right)} dx} \) có giá trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\sin x}}{{{{\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)}^2}}}dx} \) có gái trị là:
- Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{3 + 4x}}{{\sqrt {3 + 2x - {x^2}} }}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\frac{{4x - 3}}{{\sqrt {5 + 4x - {x^2}} }}dx} \) có giá trị là
- Tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}dx} \) có giá trị là:
- Tích phân . Giá trị của a là:
- Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: và quay quanh trục Ox.
- Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường: \(y = \cos x{\rm{ }};x = 0;x = \pi \) và quay quanh trục Ox.
- Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x;x = 0;y = 0;y = 1\) và quay quanh trục Oy.
- Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một hình phẳng giới hạn bởi các đường \({y^2} = {x^3};y = 0;x = 1\) và quay quanh trục Oy.
- Biết . Giá trị của . Thương số của b với c là?
- Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-1) \cos ^{2} x d x\) có giá trị là:
- Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa \(f(-x)+2 f(x)=\cos x\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\) là
- Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x\) là
- \(I=\int_{1}^{e} \frac{\ln x \sqrt[3]{2+\ln ^{2} x}}{x} d x\) là
- Cho \(M=\int_{0}^{\ln 2} \frac{2 e^{3 x}+e^{2 x}-1}{e^{3 x}+e^{2 x}-e^{x}+1} d x\) . Giá trị của \(e^M\) là