-
Câu hỏi:
Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
-
A.
\(\frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
-
B.
\(\frac{{\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
-
C.
\(\frac{{2\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\)
-
D.
\(\frac{{4\pi \sqrt 3 }}{9}{R^3}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: A
Gọi r, h, V tương ứng là bán kính đáy, chiều cao và thể tích của khối trụ. Ta dễ dàng thấy \({r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = {R^2}\). Và từ đó \(V = \frac{\pi }{3}h{r^2} = \frac{\pi }{3}h\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\).
Bây giờ sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
\({V^2} = \frac{{{\pi ^2}}}{9}{h^2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) = \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{{{h^2}}}{2}\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)\)
\( \le \frac{{2{\pi ^2}}}{9}.\frac{1}{{27}}{\left[ {\frac{{{h^2}}}{2} + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right) + \left( {{R^2} - \frac{{{h^2}}}{4}} \right)} \right]^3} = \frac{{16{\pi ^2}}}{{243}}{R^6}\)
Suy ra \(V \le \frac{{4\pi }}{{9\sqrt 3 }}{R^3}\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\frac{{{h^2}}}{2} = {R^2} - \frac{{{h^2}}}{4} \Rightarrow {h^2} = \frac{4}{3}{R^2} \Rightarrow h = \frac{2}{{\sqrt 3 }}R\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
QUẢNG CÁO
CÂU HỎI KHÁC
- Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn \(f(x) + f( - x) = \sqrt {1 + {\rm{cos2x}}} ,\forall x \in R\).
- Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a.
- Hàm số \(f(x) = \sqrt {3 + x} + \sqrt {5 - x} - 3{x^2} + 6x\) đạt giá trị lớn nhất khi x bằng
- Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\overbrace {9 + 99 + ... + 99...9}^n}}{{{{10}^n}}}\) bằng
- Cho tứ diện OABC có các góc tại đỉnh O đều bằng \(90^0\) và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Gọi G là trọng tâm của tứ diện.
- Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Toán học trong đó có 3 nam và 6 nữ, 6 nhà Vật lý trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7
- Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {1 + x + {x^2} + \frac{1}{x}} \right)^9}\) bằng
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho điểm M( a, b, c ).
- Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - x} \right| + m\) với m là một tham số thực. Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
- Một nhóm học sinh gồm 6 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành 1 hàng.
- Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. M là một điểm bất kì bên trong tứ diện.
- Cho \(tanx = m\). Giá trị của \(\frac{{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - c{\rm{osx}}}}{{2{{\sin }^3}x - c{\rm{osx}}}}\) bằng
- Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình chóp tứ giác là
- Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’.
- Giá trị của tổng \(1 + {2^2}C_{99}^2 + {2^4}C_{99}^4 + ... + {2^{98}}C_{99}^{98}\) bằng
- Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, độ dài cạnh bên cũng bằng a.
- Bất phương trình \({\log _2}({\log _4}x) + {\log _4}({\log _2}x) \le 2\) có tập nghiệm là
- Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un = un-1 + n với mọi \(n \ge 2\).
- Cho z là một số phức khác 0.
- Hàm số \(f(x) = {(x - 1)^2} + {(x - 2)^2} + ... + {(x - n)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng
- Phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1: \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\)và d2: \(\frac{{x -
- Cho \({\log _{27}}\left| a \right| + {\log _9}{b^2} = 5\) và \({\log _{27}}\left| b \right| + {\log _9}{a^2} = 7\).
- Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + {m^2} - 9m + 4 = 0\) là phương trình của một mặt cầu
- Trên giá sách có 20 cuốn sách.
- Một hình lăng trụ có tổng số đỉnh và số cạnh bằng 200 thì có số đỉnh là
- Giá trị của tổng \(1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{{{i^2}}} + ... + \frac{1}{{{i^{2019}}}}\) ( ở đó i2 = -1 ) bằng
- Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}}\). Giá trị của \({f^{(n)}}(0)\]\) bằng
- Cho tam giác ABC.Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} } \right|\) là
- Số a > 0 thỏa mãn \(\int\limits_a^2 {\frac{1}{{{x^3} + x}}} dx = \ln 2\) là
- Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + (4 - 2m)x - 6}}{{2(x + 9)}}\) cách gốc
- Thể tích khối trụ nội tiếp một mặt cầu có bán kính R không đổi có thể đạt giá trị lớn nhất bằng
- Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\). Giá trị của \(f\left( {\frac{1}{{100}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{100}}} \right) + ...
- Gieo một con súc sắc năm lần liên tiếp.
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz, cho hai điểm A(3, 2, 1) và B(-1, 4, -3).
- Hình vuông nội tiếp elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thì có diện tích bằng
- Cho tanx – tany = 10 và cotx – coty = 5. Giá trị của tan(x – y) là
- Giá trị của tổng \(C_9^9 + C_{10}^9 + ... + C_{99}^9\) bằng
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) và điểm A(0, -1
- Số mặt đối xứng của một hình chóp tứ giác đều là
- Một túi đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ.
- Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và \(\widehat {BSC} = 120^\circ ,\widehat {CSA} = 90^\circ ,\widehat {{\rm{AS}}B} = 60^\circ \). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Độ dài đoạn SG bằng
- Kí hiệu M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {4 - {x^2}} \).
- Kí hiệu M và m theo thứ tự là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {\sin ^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^5}x\).
- Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxy cho hai điểm A(1, a) và B( - a, 2).
- Số các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần là
- Giả sử \(\frac{{1 + 2i}}{{1 - i}}\) là một nghiệm ( phức ) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) trong đó a, b, c là c
- Điều kiện của tham số m để phương trình \({8^{{{\log }_3}x}} - 3{x^{{{\log }_3}2}} = m\) có nhiều hơn một nghiệm là
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y=x^2\) và \(y = 2 - \left| x \right|\) bằng
- Số các giá trị nguyên dương của k thỏa mãn 2k có 100 chữ số khi viết trong hệ thập phân là
- Giá trị của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{({2^x} - 1)({3^x} - 1)...({n^x} - 1)}}{{{x^n} - 1}}\) bằng
ADMICRO
ADMICRO
