Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\0 < mx - 5 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\5 < mx \ne 6\end{array} \right.\)

Khi đó, phương trình

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _{mx - 5}}\left( {{x^2} - 6x + 12} \right) = {\log _{mx - 5}}\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 12 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\) 

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất nếu nó chỉ có duy nhất nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 5\).

TH1: \(x = 2\) là nghiệm và \(x = 5\) không là nghiệm.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}5 < 2m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}5m \le 5\\5m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{2} < m \ne 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\left( {VN} \right)\) hay không có giá trị nào của \(m\) để phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm duy nhất.

TH2: \(x = 5\) là nghiệm và \(x = 2\) không là nghiệm.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}5 < 5m \ne 6\\\left[ \begin{array}{l}2m \le 5\\2m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m \ne \dfrac{6}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m \le \dfrac{5}{2}\\m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m \le \dfrac{5}{2};m \ne \dfrac{6}{5}\\m = 3\end{array} \right.\)

Do đó với \(\left[ \begin{array}{l}1 < m \le \dfrac{5}{2};m \ne \dfrac{6}{5}\\m = 3\end{array} \right.\) thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 5\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\) hoặc \(m = 3\).

Vậy có hai giá tị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.