1. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, = \,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
\sqrt x \, - \,\,\sqrt[3]{y}\, + \,\,4x\,\, = \,\,5\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)

Điều kiện x \( \ge \) 0

PT (1) \( \Leftrightarrow \,\,{x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, - \,\,1\,\, = \,\,0\)   (3)

PT (3) là phương trình bậc hai ẩn x có \(\Delta \,\, = \,\,{y^2} - \,\,4y\,\, + \,\,4\,\, = \,\,{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)^2} \ge \,\,0\) 

Do đó PT (3) có hai nghiệm x = -1 (loại vì x \( \ge \) 0), x = \( - \frac{c}{a}\,\, = \,\,1\,\, - \,\,y\) (điều kiện y \( \le \)  1 vì x \( \ge \) 0)

=>y = -x + 1 . Thay y = -x + 1  vào PT (2) ta có

\(\sqrt x \,\, - \,\,\sqrt[3]{{ - \,\,x\,\, + \,\,1}}\,\, + \,\,4x\,\, = \,\,5 \Leftrightarrow \,\,\sqrt x \,\, - \,\,1\,\, + \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, + \,\,4x\,\, - \,\,4\,\, = \,\,0\) 

\( \Leftrightarrow \,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{{\sqrt x \,\, + \,\,1}}\,\, + \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, + \,\,4\left( {x\,\, - \,\,1} \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\left[ {\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt x \, + \,\,1}}\,\, + \,\,1\,\, + \,\,4\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}} \right]\,\, = \,\,0\) 

\( \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, = \,\,0\\
\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt x \, + \,\,1}}\,\, + \,\,1\,\, + \,\,4\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}} = \,\,0
\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\) (TMĐK) suy ra y = 0 (TMĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) là (1 ; 0)

2. \(2x{y^2} + \,\,x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,{x^2} + \,\,2{y^2} + \,\,xy \Leftrightarrow \,\,{x^2} - \,\,x\left( {2{y^2} - \,\,y\,\, + \,\,1} \right)\,\, + \,\,2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1\,\, = \,\,0\,\,\,\,(1)\)

Đặt \(2{y^2} - \,\,y\,\, + \,\,1\) = a, khi đó PT (1) trở thành \( \Leftrightarrow \,\,{x^2} - \,\,ax\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2 = \,\,0\,\,\,\,(2)\)

Phương trình (2) có \(\Delta \,\, = \,\,{a^2} - \,\,4a\,\, + \,\,8\,\, = \,\,{\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} + \,\,4\) 

Phương trình (1) có nghiệm nguyên <=> Phương trình (2) có nghiệm nguyên

\( \Rightarrow \Delta \) là số chính phương

Đặt \({\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} + \,\,4 = {k^2}\left( {k \in N} \right) \Leftrightarrow \,\,{k^2} - \,\,{\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} = \,\,4 \Leftrightarrow \,\,\left( {k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2} \right)\left( {k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2} \right)\,\, = \,\,4\)

Vì (k  + a – 2) + (k – a + 2) = 2k là số chẵn và có tích cũng là số chẵn nên (k  + a – 2) và (k – a + 2) là số chẵn.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}
k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2\,\, = \,\,2\\
k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2\,\, = \,\,2
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2\,\, = \,\, - 2\\
k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2\,\, = \,\, - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k\,\, = \,\,2\\
a\,\, = \,\,2
\end{array} \right.\)   hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
k\,\, = \,\, - 2\\
a\,\, = \,\,2
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}
x\,\, = \,\,\frac{{a\,\, + \,\,\sqrt {{k^2}} }}{2}\,\, = \,\,\frac{{2\,\, + \,\,2}}{2}\,\, = \,\,2\\
x\,\, = \,\,\frac{{a\,\, - \,\,\sqrt {{k^2}} }}{2}\,\, = \,\,\frac{{2\,\, - \,\,2}}{2}\,\, = \,\,0\,\,
\end{array} \right.\) 

Ta có \(2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1 = a = 2 \Leftrightarrow 2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1 \Leftrightarrow 2{y^2} - \,\,2y\,\, + \,\,y\, - \,\,1\,\, = \,\,0\)

\( \Leftrightarrow \,\,\left( {y\,\, - \,\,1} \right)\left( {2y\,\, + \,\,1} \right)\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
y\,\, = \,\,1\\
y\,\, = \,\, - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) . Ta chọn y = 1 (vì y \( \in \) Z)

Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của hệ phương trình là (2 ; 1) và (0 ; 1)