Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\,(m)\) (xem hình vẽ). Tìm \(x\) để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Câu hỏi:
Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là \(12\,m\) và chiều rộng là \(6\,m\) bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\,(m)\) (xem hình vẽ). Tìm \(x\) để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?
- A.
  \(x = 3\sqrt 3 \)
- B.
  \(x = 3\sqrt 2 \)
- C.
  \(x = 2\)
- D.
  \(x = 4\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gọi tên như hình vẽ với \(AH \bot BC \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{x}{2}\)

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(B,\) theo định lý \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{3^2} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}\,\,\left( {0 < x < 6} \right)\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{1}{2}AH.BC.AA' = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt {36 - {x^2}} }}{2}.x.12 = 3x\sqrt {36 - {x^2}} \)

Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) , ta có \(x\sqrt {36 - {x^2}} \le \dfrac{{{x^2} + 36 - {x^2}}}{2} \Leftrightarrow x\sqrt {36 - {x^2}} \le 18 \Leftrightarrow 3x\sqrt {36 - {x^2}} \le 54\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow 2{x^2} = 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\sqrt 2 \,\left( {ktm} \right)\\x = 3\sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \({V_{\max }} = 54 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 .\)

Chọn: B

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải