Gọi phương trình đường thẳng bài cho là: \(d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = ax + b.\) 

Đường thẳng  \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right):{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = {x^4} - 2{x^2}\) tại hai điểm có hoành độ là \((0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1) \Rightarrow \) tọa độ hai điểm đó là: \(A\left( {0;{\mkern 1mu} 0} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a.0 + b = 0}\\{a + b = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 0}\\{a = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow d:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = {\rm{\;}} - x.\)

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ - x = {x^4} - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 2x + 1} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{{x^2} + x - 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)}\end{array}} \right.}\end{array}\) 

Khi đó \(m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + n = {\rm{\;}} - 1}\\{mn = {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow S = {m^2} + {n^2} = {\left( {m + n} \right)^2} - 2mn = 1 + 2 = 3.\)

Chọn D.