Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu.

Câu hỏi:
Cầu vòm là một dạng cầu đẹp bởi hình dáng cầu được uốn lượn theo một cung tròn tạo sự hài hòa trong thiết kế cảnh quan, đặc biệt là các khu đô thị có dòng sông chảy qua, tạo được một điểm nhấn của công trình giao thông hiện đại. Một chiếc cầu vòm được thiết kế như hình vẽ bên, vòm cầu là một cung tròn AMB. Độ dài đoạn AB bằng 30m, khoảng cách từ vị trí cao nhất ở giữa vòm cầu so với sàn mặt cầu là đoạn MK có độ dài 5m. Tính chiều dài vòm cầu.
- A.
  33,18 m
- B.
  34,18 m
- C.
  32,18 m
- D.
  31,18 m
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Giả sử AMB là cung tròn của đường tròn tâm O. Vẽ đường kính MN.

M là điểm chính giữa của cung AB \( \Rightarrow OM \bot AB\) và K là trung điểm của AB

\( \Rightarrow AK = \dfrac{1}{2}AB = 15\,\left( m \right)\).

Ta có \(\widehat {MAN} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại A.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AMN có:

\(A{K^2} = KM.KN \Leftrightarrow {15^2} = 5.KN \) \(\Leftrightarrow KN = 45\,\,\left( m \right)\)

\( \Rightarrow MN = KM + KN = 5 + 45 = 50\,\,\left( m \right)\)

\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn tâm O là \(R = 25m\).

Xét tam giác vuông ANK có \(\tan \widehat {ANK} = \dfrac{{AK}}{{KN}} = \dfrac{{15}}{{45}} = \dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \widehat {ANK} = \arctan \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOK} = 2\widehat {ANK} = 2\arctan \dfrac{1}{3}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Xét tam giác OAB có \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \) Đường cao OK đồng thời là phân giác

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOK} = 4\arctan \dfrac{1}{3} \approx 73,{7^0}\)

Vậy độ dài cung AMB là \(l = \dfrac{{\pi .R.{n^0}}}{{{{180}^0}}} = \dfrac{{\pi .25.73,7}}{{180}} \approx 32,18\,\,\left( m \right)\).

Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải