OPTADS360
AANETWORK
AMBIENT
YOMEDIA
Banner-Video
IN_IMAGE
  • Câu hỏi:

    Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y.\) 

    • A. 
      \({P_{\min }} = 4\) 
    • B. 
      \({P_{\min }} =  - 4\) 
    • C. 
      \({P_{\min }} = 2\sqrt 3 \) 
    • D. 
      \({P_{\min }} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\) 

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Ta có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)

    ĐK: \(x > y;x >  - y \Rightarrow x > \left| y \right|.\)

    Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \)  (vì \(x > 0\))

    Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4}  - \left| y \right|\)

    Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)

    Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4}  - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4}  \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

    BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

    Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

    Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 3  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

    Chọn C.

    Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

ADSENSE/
QUẢNG CÁO
 

 

CÂU HỎI KHÁC

NONE
OFF

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12