-
Câu hỏi:
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).
-
A.
\(\sqrt {15} \)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\sqrt {17} \)
-
D.
\(\sqrt {19} \)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: C
Có x, y là các số thực dương \( \Rightarrow \frac{1}{x};\frac{1}{y}\) là các số thực dương
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}} = \frac{2}{{\sqrt {xy} }}\)
Vậy \(P \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }}.\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} = 2\sqrt {\frac{1}{{xy}} + xy} \)
Ta có : \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \) (do x, y là hai số thực dương) \( \Rightarrow xy \le \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{{xy}} + xy = \frac{1}{{16xy}} + xy + \frac{{15}}{{16}}.\frac{1}{{xy}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{16xy}}.xy} + \frac{{15}}{{16}}\frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 2.\frac{1}{4} + \frac{{15}}{4} = \frac{{17}}{4}\)
\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {\frac{{17}}{4}} = \sqrt {17} \) . Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = 1\\xy = \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\sqrt {17} \) đạt được khi \(x = y = \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm điều kiện của \(x\) để \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.
- Tính: \(\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}.\)
- Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) )
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\2x - y = 7\end{array} \right.\)
- Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), biết \(BH = 9cm,\,\,CH = 25cm\). Tính \(AH\).
- Căn bậc hai số học của \(16\) là
- Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {\frac{{2017}}{{x - 2018}}} \) là
- Rút gọn biểu thức sau \(\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } + \sqrt 3 \) ta được kết quả là
- Tìm giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = (m - 2017)x + 2018\) đi qua điểm \((1\,;\,\,1)\) ta được
- Cho biết tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AC = 3,AB = 4\). Khi đó \(\cos B\) bằng
- Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Khi đó độ dài \(AH\) bằng
- Giá trị của biểu thức \(P = {\cos ^2}{20^0} + {\cos ^2}{40^0} + {\cos ^2}{50^0} + {\cos ^2}{70^0}\) bằng
- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = x - 2\sqrt {2x - 1} \).
- Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + 3 = 3\sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 2} \).
- Tính: \(2\sqrt {48} + \frac{1}{3}\sqrt {108} - 5\sqrt 3 - 3\sqrt {27} \).
- Tính: \(\frac{{6 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 6 - 1}} - 9\sqrt {\frac{2}{3}} - \frac{4}{{2 - \sqrt 6 }}\).
- Giải phương trình: \(\frac{5}{3}\sqrt {9x - 18} - \frac{1}{2}\sqrt {16x - 32} - 15 = 0\).
- Nhà bạn Bình có gác lửng cao so với nền nhà là 3m. Ba bạn Bình cần đặt một thang đi lên gác, biết khi đặt thang phải để thang tạo được với mặt đất một góc \({70^o}\) thì đảm bảo sự an toàn khi sử dụng. Với kiến thức đã học, Bình hãy giúp Ba tính chiều dài thang là bao nhiêu mét để sử dụng. (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
- Tháng 11 vừa qua có ngày Black Friday, phần lớn các trung tâm thương mại đều giảm giá rất nhiều mặt hàng. Mẹ bạn An có dẫn An đến một trung tâm thương mại để mua một đôi giày.
- Tính: \(4\sqrt {12} - 15\sqrt {\frac{1}{3}} - \frac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
- Tính: \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {\frac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}} \).
- Giải phương trình sau: \(\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2\).
- Rút gọn: \(A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) ( với \(x > 0,x \ne 1\)).
- Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng \(AC = 30m\), rồi vạch \(CD\) vuông góc với phương BC cắt AB tại D. Do\(AD = 20m\), từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc \(\angle ACB\).
- Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lên 20% muối.
- Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {6 - 3x} \) là:
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(p = \sqrt {x + 3} - 1\) là:
- Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) là:
- Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \(\frac{{AB}}{{AC}} = \sqrt 3 \). Số đo độ của góc ABC bằng:
- Cho EM, EN là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) với tiếp điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là sai:
- Hai đường tròn \(\left( {O;5} \right)\) và \(\left( {O';8} \right)\) có vị trí tương đối với nhau như thế nào biết \(OO' = 12\)
- Giải phương trình \({x^2} + x - 17 = \sqrt {\left( {{x^2} - 15} \right)\left( {x - 3} \right)} + \sqrt {{x^2} - 15} + \sqrt {x - 3} \)
- Nếu x thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {3 + \sqrt x } = 2\) thì x nhận giá trị là:
- Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH. Chọn hệ thức sai:
- Cho hai đường tròn \(\left( {I;7cm} \right)\) và \(\left( {K;5cm} \right)\). Biết \(IK = 2cm\). Quan hệ giữa hai đường tròn là:
- Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \).
- Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)y = 1\\\left( {\sqrt 2 + 1} \right)x - y = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\)
- Cho \(x > 0,\,\,y > 0\) thỏa mãn \(xy = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{{3x + 2y}}\).
- Tìm \(x\) biết: \(\sqrt{4x-20}=7\sqrt{\frac{x-5}{9}}-2\)
- Các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ \({{30}^{o}}\) Tại thời điểm đó, bóng của một cái cây trên mặt đất dài \(20m\) Hỏi cái cây đó cao bao nhiêu mét ? (làm tròn tới phần thập phân thứ nhất).
