-
Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {DAB} = \widehat {CBD} = 90^\circ ;AB = a;\;AC = a\sqrt 5 ;\;\widehat {ABC} = 135^\circ \). Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng 30o. Thể tích của tứ diện ABCD là
-
A.
\(\frac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }}\)
-
B.
\(\frac{{{a^3}}}{{\sqrt 2 }}\)
-
C.
\(\frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 2 }}\)
-
D.
\(\frac{{{a^3}}}{6}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Vẽ \(AH \bot \left( {BCD} \right),H \in \left( {BCD} \right)\)
Vẽ \(HK\,{\rm{//}}\,BC,K \in BD\) có \(BD \bot BC \Rightarrow HK \bot BD\) mà \(AH \bot BD\).
\( \Rightarrow BD \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BD \bot AK\).
Nên \(\left( {\widehat {\left( {ABD} \right),\left( {BCD} \right)}} \right)\, = \,\,\widehat {AKH}\,\, = 30^\circ \)
Vẽ \(HM\,{\rm{//}}\,BD,M \in BD\) có \(BC \bot BD \Rightarrow HM \bot BC\) mà \(AH \bot BC\).
\(\Rightarrow BC \bot AM\), có góc \(\widehat {ABC} = 135^\circ \).
Suy ra \(\widehat {ABM} = 45^\circ \) (nên B ở giữa M và C).
\(\Delta AMB\) vuông tại M có \(\widehat {ABM} = 45^\circ \).
Suy ra \(\Delta AMB\) vuông cân tại B \( \Rightarrow AM = MB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\).
Tứ giác BKHM là hình chữ nhật, nên BM = HK.
Tam giác AHK vuông tại H có \(\widehat {AKH} = 30^\circ \), nên \(AH = \frac{{HK}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }},AK = 2AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 6 }}\)
Tam giác BAD vuông tại A có AK là đường cao nên \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\).
\( \Rightarrow \frac{3}{{2{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AD = a\sqrt 2 \) và \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 3 \).
Có \(BC = CM - BM,C{M^2} = C{A^2} - A{M^2} = 5{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{9{a^2}}}{2}\)
Có \(V = \frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = \frac{1}{6}AH.BD.BC = \frac{1}{6}\frac{a}{{\sqrt 6 }}.a\sqrt 3 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Vậy \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
- Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2, công sai d = 3. Tính u5.
- Nghiệm của phương trình \({2^{3x - 7}} = 32\) là
- Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(a = 4,{\rm{ }}b = 5,{\rm{ }}c = 6\)
- Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {x - 2} \right)\) là
- Với f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên khoảng K và k khác 0 thì mệnh đề nào sau đây là sai?
- Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
- Cho khối nón có chiều cao h = 5, bán kính đáy r = 3. Tính thể tích của khối nón đã cho.
- Tính diện tính mặt cầu bán kính r = 2a
- Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- Với a, b là các số thực dương tùy ý, \({\log _2}{a^2}{b^3}\) bằng
- Tính diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh l = 5 bán kính đáy r = 4.
- Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
- Đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong ở hình dưới?
- Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2021}}{{x + 1}}\)
- Giải bất phương trình \({\log _3}\left( {2x - 5} \right) > 2\).
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 là:
- Nếu \(\int\limits_{ - 1}^3 {f(x)dx = - 4} \) và \(\int\limits_2^3 {f(x)dx = 3} \) thì \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \) bằng
- Môđun của số phức 6 - 5i bằng
- Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Giá trị của biểu thức \(z_1^2 + z_2^2\) bằng
- Tìm số phức liên hợp \(\bar z\) của số phức z = (3 - 2i)(2 + 3i).
- Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm M(2;-2;1) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 5)^2} = 25\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S).
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 3y - 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
- Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \((d):\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)?
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2\sqrt 3 a\). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
- Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 35\) trên đoạn [-4;4] bằng:
- Cho \({\log _2}5 = a;{\rm{ }}{\log _3}5 = b\). Tính \({\log _6}5\) theo a và b .
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt là
- Bất phương trình có tập nghiệm là (a;b). Tổng a + b bằng
- Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích hình tròn đáy của hình nón bằng . Tính đường cao h của hình nón.
- Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và \(f\left( 2 \right) = 16,\;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)\,} {\rm{d}}x = 4\). Tính \(\int\limits_0^4 {xf'\left( {\frac{x}{2}} \right)\,} {\rm{d}}x\)
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2;g\left( x \right) = x + 2\) là:
- Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\) và \({z_2} = - 3 - 5i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức \(w = {z_1} + {z_2}\)
- Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đk \(\left| {\overline z + 1 + 2i} \right| = 1\) là
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4). Phương trình mặt phẳng (OAB) (O là gốc tọa độ) là
- Trong không gian với hệ trục tọa độ (Oxyz), phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x - 2y + z - 1 = 0 có dạng
- Kết quả (b;c) của việc gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai . Xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm là
- Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = SB = a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng
- Để đồ thị hs \(y = - {x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + m + 1\) có điểm cực đại mà không có điểm cực ti�
- Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 1,2%/ tháng để mua xe ô tô. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 20 triệu đồng cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 20 triệu đồng).
- Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\), trong đó (m,n,p,q,r \in R\). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên dưới. Số nghiệm của phương trình f(x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r là
- 1 bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đườn
- Cho\(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right){\rm{d}}x} = a\ln 2 - \frac{7}{b}\) trong đó a, b
- Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của f'(x) như sau. Xét hàm số \(g\left( x \right) = {e^{f\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}\), tập nghiệm của bất phương trình g'(x) > 0 là
- Cho x, y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{3x + 2y - 9}}{{x + y + 10}}\) khi x, y thay đổi.
- Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} + a} \right|\). Gọi M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0;2]. Có bao nhiêu số nguyên a thuộc [-4;4] sao cho ?
- Cho tứ diện ABCD có . Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABD), (BCD) bằng 30o. Thể tích của tứ diện ABCD là
- Cho hai số thực x, y thỏa mãn Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
