-
Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD có \(AD \bot (ABC), ABC\) có tam giác vuông tại B. Biết \(BC = 2a,AB = 2a\sqrt 3 ,AD = 6a\). Quay tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
-
A.
\(\frac{{5\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
B.
\(\frac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
C.
\(\frac{{64\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
-
D.
\(\frac{{4\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: B
Ta có:
Khối nón \((N_1)\) được sinh bởi \(\Delta ABC\) khi quay quanh AB có chiều cao \(h_1=AB\) và bán kính đáy \(R_1=BC\)
Khối nón \((N_2)\) được sinh bởi \(\Delta ADB\) khi quay quanh AB có chiều cao \(h_2=AB\) và bán kính đáy \(R_2=AD\)
.png)
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của hình nón \((N_1)\) kẻ đường kính GH // DE. Dễ dàng chứng minh được DEGH là hình thang cân.
Gọi \(M = AG \cap BE;N = AH \cap BD,I = AB \cap MN.\)
Khi đó phần chung giữa hai khối nón \((N_1)\) và \((N_2)\) là hai khối nón:
+) Khối nón \((N_3)\) đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy \(IN \Rightarrow {V_3} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI\)
+) Khối nón \((N_4)\) đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy \(IN \Rightarrow {V_4} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AI\)
Thể tích phần chung \(V = {V_3} + {V_4} = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI + \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AI = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.(AI + BI) = \frac{1}{3}\pi .I{N^2}.AB\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{MN}}{{GH}} = \frac{{AI}}{{AB}};\frac{{MN}}{{DE}} = \frac{{BI}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{GH}} + \frac{{MN}}{{DE}} = \frac{{AI + BI}}{{AB}} = 1\\
\Rightarrow MN\left( {\frac{1}{{2BC}} + \frac{1}{{2AD}}} \right) = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{2.2a}} + \frac{1}{{2.6a}}} \right) = 1 \Leftrightarrow MN = 3a
\end{array}\)Dễ thấy I là trung điểm của MN \( \Rightarrow IN = \frac{{MN}}{2} = \frac{{3a}}{2}\)
Vậy \(V = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2}.2a\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\)
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Hình hộp chữ nhật đứng đáy là hình thoi có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng \( + \infty \)?
- Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 2 = m\) có hai nghiệm phân biệt.
- Trên đồ thị (C): \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường th
- Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có \(f(x) > 0,\forall x \in R\).
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(y = {x^2}(x - 2)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1=2\) và biểu thức \(20{u_1} - 10{u_2} + {u_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
- Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B(2;1;-3) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): \(x
- Đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {5 - 3{x^2}} \right)\) là:
- Đặt \(a = {\log _2}5\) và \(b = {\log _3}5\). Biểu diễn đúng của theo a, b là:
- Cho hai góc nhọn a và b thỏa mãn \(\tan a = \frac{1}{7}\) và \(\tan b = \frac{3}{4}\). Tính a + b.
- Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
- Công thức nào sau đây là sai:
- Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{x + {m^2} + 2m}}{{x - 2}}\) trên
- Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
- Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(-2;4) và B(8;4).
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^2} + \frac{{16}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\) bằng:
- Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình t
- Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left| x \right|\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
- Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứ
- Tìm tập nghiệm S của phương trình \({2^{x + 1}} = 4\)
- Cho tứ diện ABCD có \((ACD) \bot (BCD),AC = AD = BC = BD = a,CD = 2x\).
- Cho khối chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\frac{a}{{\sqrt 2 }},\Delta SAC\) vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
- Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} + x - 1\) là:
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}\)
- Cho hai góc lượng giác a và b. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho \(\overrightarrow a = (1; - 2;3)\) và \(\overrightarrow b = (2; - 1; - 1)\).
- Cho hình chóp S.ABCD có \(SC = x(0 < x < a\sqrt 3 )\), các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số: \(y = {x^8} + (m + 1){x^5} - ({m^2} - 1){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại x =
- Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4\)
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để phương trình \({\left( {x + 2 - \s
- Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^
- Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A\left( { - 3;0;0} \right);B\left( {0;0;3} \right);C\left( {0; - 3;0} \right)\) và mặt ph
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( {2{x^2} + 3} \right) < \log \left( {{x^2} + mx + 1} \
- Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12} + 6x - {x^2} - 4\).
- Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) thỏa mãn F(0) = 5.
- Cho một tập hợp A gồm 9 phân tử. Có bao nhiêu cặp tập con khác rỗng không giao nhau của tập A?
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(y = {x^2} - 3x + {m^2} + 5m + 6\).
- Một giải thi đấu bóng đá quốc gia có 12 đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt tính điểm (2 đội bất kì thi đấu vớ
- Một hộp sữa hình trụ có thể tích V (không dổi) được làm từ một tấm tôn có diện tích đủ lớn.
- Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{{4x + 7}}{{{{\log }_{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10}
- Cho tứ diện ABCD có \(AD \bot (ABC), ABC\) có tam giác vuông tại B. Biết \(BC = 2a,AB = 2a\sqrt 3 ,AD = 6a\).
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm \(f(x)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(f(x)\) như hình vẽ.
- Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \({\left[ {f(x)} \right]^2} + f(x).f(x) = {x^3} - 2x, \forall x \in R\) và \(f(0) = f(0) = 2\).
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy.
- Cho hàm số \(y = \frac{{3x + b}}{{ax - 2}}(ab \ne - 2)\).
- Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \((P):x - 2y + z - 1 = 0;(Q):x - 2y + z + 8 = 0;(R):x - 2y + z - 4 = 0\).
