a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\) 

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có :

     AD cạnh chung

     \(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)

     AB = AC (vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

Vậy \(\Delta ABD = \Delta ACD\,\,\left( {c - g - c} \right)\)

b) Chứng minh ba điểm A, D, G thẳng hàng

Ta có \(\Delta ABM = \Delta ACM\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow MB = MC\)

\( \Rightarrow \) AD là đường trung tuyến

Mà G là trọng tâm \( \Rightarrow G \in AD\)

Vậy A; D; G thẳng hàng. 

c) Tính DG

Ta có \(\Delta ABD = \Delta ACD \Rightarrow \hat{ADB} =  \hat {ADC}; DB = DC = \frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5(cm)\)

Mà \(\widehat {ADB} + \widehat {ADC} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = {90^0} \Rightarrow AD \bot BC\)

\(\Delta ABD\) vuông tại D có \(A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {13^2} - {5^2} = 144 \Rightarrow AD = 12\)

Vậy \(DG = \frac{{AD}}{3} = \frac{{12}}{3} = 4cm\)