-
Câu hỏi:
Cho số thực \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2cos(\alpha x)\) có đúng 2019 nghiệm thực. Số nghiệm của phương trình \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x)\) là:
-
A.
2019
-
B.
2018
-
C.
4037
-
D.
4038
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có \({2^x} + {2^{ - x}} = 4 + 2cos(\alpha x) \Leftrightarrow {\left( {{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}}} \right)^2} = 4co{s^2}\frac{{\alpha x}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(1)\\
{2^{\frac{x}{2}}} - {2^{ - \frac{x}{2}}} = - 2cos\frac{{\alpha x}}{2}(2)
\end{array} \right.\)Thay vào phương trình (1) ta có \({2^0} - {2^0} = 2cos0 \Leftrightarrow 0 = 1\) (Vô lí), kết hợp với giả thiết ta có phương trình (1) có 2019 nghiệm thực khác 0.
Với x0 là nghiệm của phương trình (1)
\( \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} \Leftrightarrow {2^{\frac{{( - {x_0})}}{2}}} - {2^{\frac{{ - ( - {x_0})}}{2}}} = - 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} \Rightarrow - {x_0}\) là nghiệm của phương trình (2)
Thay \(x = - {x_0}\) vào phương trình (1) ta có:
\( \Leftrightarrow {2^{ - \frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = 2cos\frac{{\alpha ( - {x_0})}}{2} = 2cos\frac{{\alpha {x_0}}}{2} = {2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} - {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}}\)
\( \Leftrightarrow {2.2^{\frac{{{x_0}}}{2}}} = {2.2^{\frac{{ - {x_0}}}{2}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{{x_0}}}{2} + 1}} = {2^{\frac{{ - {x_0}}}{2} + 1}} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}}}{1} + 1 = - \frac{{{x_0}}}{1} + 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\) (vô lí do \({x_0} \ne 0\) )
\( \Rightarrow - {x_0}\) không là nghiệm của phương trình (1), điều đó đảm bảo mọi nghiệm của phương trình (2) không trùng với nghiệm của phương trình (1).
Do đó phương trình (2) cũng có 2019 nghiệm.
Vậy phương trình ban đầu có 2019.2 = 4038 nghiệm
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
- Nghiệm các phương trình \({\log _3}(2x - 1) = 2\) là:
- Cho khối nón có chiều cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho bằng
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 3;-1) và B(0; -1; 1). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:
- Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(B,AB = a,AC = 2a,SA \bot (ABC)\) và SA = a .
- Cho hàm số có bảng biến thiênHàm số đã cho đồng biến trên khoảng
- Với các số thực \(a,b > 0,a \ne 1\) tùy ý, biểu thức \({\log _{{a^2}}}\left( {a{b^2}} \right)\) bằng:
- Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 2y - 3z + 1 = 0?
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2} + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) là:
- Cho a, b là các số thực thỏa mãn a + 6i = 2 - 2bi, với i là đơn vị ảo. Giá trị của a + b bằng
- Một lớp học có 15 bạn nam và 10 bạn nữ. Số cách chọn hai bạn trực nhật sao cho có cả nam và nữ là:
- Với hàm số f(x) tùy ý liên tục trên R , a < b, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm s�
- Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}\)
- Cho (un) là một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} + {u_3} = 8\) và u4 = 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị. Hàm số đã cho đạt cực đại tại
- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình 2|f(x)| - 5 = 0 là
- Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiênSố đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; -1;2) và (3; 3; 0). Mặt phẳng trung trực của đường thẳng AB có phương trình là
- Diện tích hình phẳng bôi đậm trong hình vẽ dưới đây được xác định theo công thức
- Cho số phức z thỏa mãn \((2 + 3i)z + 4 - 3i = 13 + 4i\). Mô đun của z bằng
- Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {x - 1} \right)^{\frac{1}{2}}}\) là:
- Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn \(\left| {(1 + i)z - 5 + i} \right| = 2\) là một đư�
- Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({3^{2x}} - {2.3^{x + 2}} + 27 = 0\) bằng
- Với các số a, b > 0 thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 6ab\) , biểu thức \({\log _2}(a + b)\) bằng:
- Cho khối trụ (T). Biết rằng một mặt phẳng chứa trục của (T) cắt (T) theo thiết diện là một hình vuông cạnh 4a.
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên đoạn [1; 3] bằng
- Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng:
- Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
- Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 2x\).
- Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng qua A(1;0;2) cắt và vuông góc với đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{
- Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN nh�
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\) có 5 điểm cực trị
- Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O
- Cho các số thực dương \(x,y \ne 1\) và thỏa mãn \({\log _x}y = {\log _y}x,{\log _x}(x - y) = {\log _y}(x + y)\).
- Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{x + 3}}{{{x^2} + 3x + 2}}\) là
- Tập hợn tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} + 3x - 2\) đồng biến trên R là:
- Xét số phức z thỏa mãn \(\frac{{z + 2}}{{z - 2i}}\) là số thuần ảo.
- Gieo con xúc xắc được chế tạo cân đối và đồng chất 2 lần.
- Biết rằng tồn tại duy nhất bộ các số nguyên a, b, c sao cho \(\int\limits_2^3 {(4x + 2)\ln xdx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) .
- Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - (m + 1){x^2} + ({m^2} - 2)x - {m^2} + 3\) có
- Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1 và bán kính bằng a.
- Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A( - 1;2;1),B(2; - 1;4),C(1;1;4)\) .
- Cho hàm số f(x) > 0 với mọi \(x \in R,f(0) = 1\) và \(f(x) = \sqrt {x + 1} f(x)\) với mọi \(x \in R\).
- Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng xét dấu như sau:
- Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1\)&nbs
- Trong không gian Oxyz, tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left| z \right| + \left| y \right| + \left| z \right| \le 2\) và \(\left| {
- Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có đồ thị (P).
- Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a
- Cho số thực \(\alpha \) sao cho phương trình \({2^x} - {2^{ - x}} = 2cos(\alpha x)\) có đúng 2019 nghiệm thực.
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1; - 3),B(0; - 2;3) và mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \righ
