Giả sử \(z=a+bi,\)vì \(z\ne 0\) nên \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0\)\(\left( * \right)\)

Đặt: \(w=\frac{1+i}{z}=\)\(\frac{1+i}{a+bi}\)\(=\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\left[ a+b+\left( a-b \right)i \right]\)\(=\frac{a+b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{a-b}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}i\)

w là số thực nên: \(a=b\,\,\,\left( 1 \right)\). Kết hợp \(\left( * \right)\) suy ra \(a=b\,\,\ne 0\).

Mặt khác: \(\left| a-2+bi \right|=m\)\(\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{m}^{2}}\,\,\,\left( 2 \right)\).(Vì m là mô-đun nên \(m\ge 0\)).

Thay\(\left( 1 \right)\) vào\(\left( 2 \right)\)được: \({{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}={{m}^{2}}\)\(\Leftrightarrow g\left( a \right)=2{{a}^{2}}-4a+4-{{m}^{2}}=0\,\,\)\(\,\left( 3 \right)\)

Để có đúng một số phức thoả mãn bài toán thì PT \(\left( 3 \right)\) phải có nghiệm \(a\ne 0\) duy nhất.

Có các khả năng sau :

KN1 : PT\(\,\left( 3 \right)\) có nghiệm kép \(a\ne 0\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 2 = 0\\
4 - {m^2} \ne 0
\end{array} \right. \Rightarrow m = \sqrt 2 \)

KN2: PT\(\,\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm a=0

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
g\left( 0 \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - 2 > 0\\
4 - {m^2} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow m = 2\)

Từ đó suy ra \(\exists {{m}_{0}}=\sqrt{2}\in \left( 1;\,\frac{3}{2} \right)\)