-
Câu hỏi:
Cho phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\) với \(a,\,\,b\) là các tham số thực lớn hơn \(1\). Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a+b\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
A.
\(\left( 6;7 \right)\)
-
B.
\(\left( -1;2 \right)\)
-
C.
\(\left( -2;3 \right)\)
-
D.
\(\left( 5;7 \right)\).
Lời giải tham khảo:
Đáp án đúng: D
Ta có \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\)
\(\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}x \right)=2020\Leftrightarrow \left( 1+{{\log }_{a}}x \right)\left( 1+{{\log }_{b}}a{{\log }_{a}}x \right)=2020\)
Đặt \(\left\{ \begin{align} & m={{\log }_{b}}a \\ & t={{\log }_{a}}x \\ \end{align} \right.\)(Do \(a,b>1\Rightarrow m>0\)).
Suy ra: \(\left( 1+t \right)\left( 1+mt \right)=2020\)\(\Leftrightarrow m{{t}^{2}}+\left( m+1 \right)t-2019=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Xét \(\Delta ={{\left( m+1 \right)}^{2}}+4.2019.m\,\,>0\,\Rightarrow m>0\).
Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\).
Theo Vi-et ta có: \({{t}_{1}}+{{t}_{2}}=-\frac{m+1}{m}\)\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}+{{\log }_{a}}{{x}_{2}}=-\frac{{{\log }_{b}}a+1}{{{\log }_{b}}a}\)
\(\Rightarrow {{\log }_{a}}{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-\left( 1+{{\log }_{a}}b \right)=-{{\log }_{a}}ab\)\(\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{1}{ab}\)
Do đó \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)
\(\Leftrightarrow P\,=\frac{6}{ab}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\)
\(\Leftrightarrow P\,=\left( \frac{6}{ab}+\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}b \right)+\left( \frac{1}{3}a+\frac{3}{4a} \right)+\left( \frac{3b}{4}+\frac{12}{b} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các bộ số ta được: \(P\ge 3+1+6=10\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{3}{2};b=4\). Vậy \(a+b=\frac{11}{2}\).
Hãy trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án và lời giải -
A.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
CÂU HỎI KHÁC
- Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
- Thể tích của một khối lập phương bằng 27. Cạnh của khối lập phương đó là
- Phương trình \({{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=2\) có nghiệm
- Câu 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị như hình bên?
- Câu 5. Tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) tại điểm A (3;1) là đường thẳng
- Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai d=5. Giá trị \({{u}_{4}}\) =
- Câu 7. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
- Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 pt là
- Họ tất cả các nguyên hàm của hs \(f\left( x \right)=\sin x\) là
- Gọi \(a\,,\,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z=-3+2i. Giá trị của \(a\,-b\) bằng
- Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{6}x\) và các đường thẳng \(y=0,\,\,x=1,\,\,x=2\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx=5\) và \(\int\limits_{-1}^{3}{f\left( x \right)}dx=1\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx\).
- Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mp tọa độ Oxy là điểm \(M\left( 3;-5 \right)\).
- Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm \(A\left( -3;1;2 \right)\). Tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua trục Oy là:
- V của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt{2}\) là:
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\), liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right)+7=0\)
- Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x}{x+3}\) trên đoạn \(\left[ -2;3 \right]\) bằng
- Cho hình trụ có thiết diện đi qua trục là một hình vuông có cạnh bằng 4a. Sxq của hình trụ là
- Xác định tập nghiệm S của bpt \({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2x-3}}\ge 3.\)
- Trong không gian Oxyz, PTTS của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 2;0;-1 \right)\) và có vecto chỉ phương \(\o
- Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\overline{z}-3+i=0\). Môđun của \(z\) bằng
- Trong không gian Oxyz cho điểm \(I\left( 2;3;4 \right)\) và \(A\left( 1;2;3 \right)\). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là:
- Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, ABCD là hình chữ nhật và \(AB=a,\,\,AD=a\sqrt{2}\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là
- Nếu \({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{x}}>\sqrt{3}+\sqrt{2}\)thì
- Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 1;0;2 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}.\) Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
- Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( 2;\,4;\,-3 \right)\). Bán kính mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) là
- Cho \({{\log }_{a}}x=2,{{\log }_{b}}x=3\) với a,b là các số thực lớn hơn 1.Tính \(P={{\log }_{\frac{a}{{{b}^{2}}}}}x.\)
- Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{x+3}\) là:
- Hàm số \(y={{\log }_{a}}x\) và \(y={{\log }_{b}}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đường thẳng \(y=3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\). Biết rằng \({{x}_{2}}=2{{x}_{1}}\), giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng
- Câu 31. Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là giao của hai mặt phẳng \(x+z-5=0\) và \(x-2y-z+3=0\) thì có vecto chỉ phương là:
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mp vuông góc với đáy.
- Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+4y-6z-m+4=0\). Tìm số thực m để mặt phẳng \(\left( P \right):2x-2y+z+1=0\) cắt \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
- Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-4 \right)x+3\) đạt cực đại tại \(x=3.\)
- Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right)=6t\left( m/{{s}^{2}} \right)\). Vận tốc của vật tại thời điểm t=2 giây là 17 m / s. Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t=4 giây đến thời điểm t=10 giây là:
- Biết rằng \(x{{\operatorname{e}}^{x}}\) là một nguyên hàm của \(f\left( -x \right)\) trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\). Gọi \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \({f}'\left( x \right){{\operatorname{e}}^{x}}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\), giá trị của \(f\left( -1 \right)\) bằng
- Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y=\frac{3x+2018}{\sqrt{m{{x}^{2}}+5x+6}}\) có hai tiệm cận ngang.
- Cho số phức z. Gọi A, B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng (Oxy) biểu diễn các số phức z và\(\left( 1+i \right)z\). Tính \(\left| z \right|\) biết diện tích tam giác OAB bằng 8
- Biết rằng hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+mx+m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
- Cho bất phương trình \({{9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.3}^{x}}+m>0\)\(\left( 1 \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x\ge 1\)
- Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xq của một hình nón bởi một m�
- Tìm số phức z thỏa mãn \(\left| z-2 \right|=\left| z \right|\) và \(\left( z+1 \right)\left( \bar{z}-i \right)\) là số thực.
- Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=2\cos 2x,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
- Cho tập hợp \(S=\left\{ 1;2;3;...;17 \right\}\) gồm 17 số nguyên dươg đầu tiên.
- Câu 46. Cho đồ thị hàm đa thức \(y=f\left( x \right)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right).f\left( 2x+1 \right)\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
- Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên \(SB,\,\,SD\) lần lượt là \(H,\,K\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK.
- Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)có đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) cho như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2x+2020\) đồng biến trên khoảng nào?
- Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm \(A\left( 1;1;1 \right), B\left( 2;0;2 \right), C\left( -1;-1;0 \right), D\left( 0;3;4 \right)\). Trên các cạnh AB, \)AC\), AD lần lượt lấy các điểm \({B}',{C}',{D}'\) sao cho \(\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4\) và tứ diện \(A{B}'{C}'{D}'\) có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( {B}'{C}'{D}' \right)\) có dạng là ax+by+cz-d=0. Tính a-b+c+d
- Cho phương trình \({{\log }_{a}}\left( ax \right){{\log }_{b}}\left( bx \right)=2020\) với \(a,\,\,b\) là các tham số thực lớn hơn \(1\). Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là các nghiệm của phương trình đã cho. Khi biểu thức \(P=6{{x}_{1}}{{x}_{2}}+a+b+3\left( \frac{1}{4a}+\frac{4}{b} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a+b\) thuộc khoảng nào dưới đây?
