Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau là \(\overline {aaa} \). \(\left( {1 \le n \le 9,\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow P = \left\{ {1;\,\,2;\,\, \ldots ;\,\,n} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp \(P\) có \(n\) số hạng.

Suy ra: \(1 + 2 +  \ldots  + n = \left( {n + 1} \right) \times n:2\).

Theo đề bài ta có: \(1 + 2 +  \ldots  + n = \overline {aaa} \)

\( \Rightarrow \left( {n + 1} \right) \times n:2 = \overline {aaa}  = a \times 111 = a.3.37\)

\( \Rightarrow n.\left( {n + 1} \right) = 2.a.3.37\).

Vì số \(n.\left( {n + 1} \right)\) là số có ba chữ số nên \(n + 1 < 74\)

\( \Rightarrow n = 37\) hoặc \(n + 1 = 37\)

+ Với \(n = 37\) thì \(37.38:2 = 703\) (loại)

+ Với \(n + 1 = 37 \Rightarrow n = 36\) thì \(36.37:2 = 666\) (thỏa mãn)

Vậy \(n = 36\) và tổng các số đó bằng \(666\).

Chọn C.